اقتصاد سنجی پیشرفته دکتر حسین عباسی نژاد دانشیار دانشکده اقتصاد دانشگاه تهران 4831

Transcript

1 اقتصاد سنجی پیشرفته دکتر حسین عباسی نژاد دانشیار دانشکده اقتصاد دانشگاه تهران 483

2 فهرست مطالب فهرست مطالب أ پیش گفتار ه فصل اول مدل رگرسیون خطی کالسیک چند متغیره فرضهاي اولیه مدل کالسیک روش حداقل مربعات معمولی OLS -4-4 قضیه GAUSS MARKOV گوس و مارکف...8 فصل دوم تجزیه تغییرات متغیر وابسته ضریب تعیین یا خوبی برازش: فصل سوم تئوري مجانبی R حد احتمالی دنباله تصادفی قضیه خین چین قضایاي اسالتسکی OLS سازگاري سازگاري -5-8 سازگاري تحت شرایط استاندارد مدل رگرسیون خطی توزیع احتمالی براي تخمینزنندههاي...8 OLS فصل چهارم فصل چهارم معنیدار بودن ضرایب و فاصله اعتماد پیشبینی روش حداقل مربعات همراه با محدودیت - استفاده از آزمون F براي بررسی قیدهاي مدل رگرسیون خطی آزمون وجود رابطه بین متغیرهاي توضیحی و وابسته... آزمون برابري دو مدل رگرسیون در دو وضعیت خاص اقتصادي مانند جنگ و صلح آزمون تغییرات ساختاري 96 Chow es أ

3 ب عرض از مبداهاي مختلف تغییردر برخی از ضرایب: مدل رگرسیون خطی تعمیم یافته - روش حداقل مربعات تعمیمیافته GLS 8- تئوري ایتکنز مدل رگرسیونی ظاهرا نامرتبط تخمین به روش حداکثر نمودن تابع درستنمایی مقایسه واریانس OLS و ML 8-9 ماتریس اطالعات حد پایین رائو و کرامر کرامر حد پایین رائو -9 استفاده از آزمونهاي LM, LR, WALD 4-4 واریانس ناهمسانی مدل ضرایب تصادفی واریانس ناهمسانی گروهی تبعات واریانس ناهمسانی درروش OLS برروي تخمین زنندهها انواع واریانس ناهمسانی واریانس ناهمسانی بصورت تابعی از متغیرهاي مستقل یا برونزا آزمون تشخیص وجود واریانس ناهمسانی آزمون گلدفلد - کوانت اشکاالت وارد به روش آزمون فوق آزمون بریوش - پایگان: آزمون 499 پارك - گلسجر آزمون وایت آزمون ضریب الگرانژ براي واریانس ناهمسانی گروهی براي بنگاه با 5 مشاهده خود همبستگی -44 تخمین تحت شرایط همبستگی پیاپی روش تخمین به روش حداکثر درست نمایی مراحل روش تخمین کوکران اورکات: روش و مراحل کار Hlderh LU -44 روش و مراحل کار دوربین

4 FGLS آزمون براي تشخیص همبستگی پیاپی خود همبستگی روش آزمون دوربین واتسون: هم خطی -4 هم خطی کامل هم خطی ناقص تشخیص هم خطی تجزیه واریانس ضرایب مدل رگرسیون فصل سیزدهم سیستم معادالت همزمان خطی -48 روش متغیرهاي ابزاري : مسئله تشخیص : تشخیص پارامترهاي فرم ساختاري: نمادها فروض و قضایاي حد مرکزي: فروض مدل : حداقل مربعات غیرمستقیم: تخمین زننده با اطالعات محدود: تخمینزننده با اطالعات کامل : فصل چهاردهم تحلیل مدل سریهاي زمانی -4 فراگرد تصادفی... Sochasc Process : ; N - فراگرد تصادفی ماناي ضعیفProcess 4... Weakl Saonar Sochasc -8 فراگرد تصادفی ماناي قوي 4...Srcl Saonar Sochasc Process - تابع اتوکو واریانس FnconACF 4... Ao Correlaon -5 تابع خود همبستگی 4... Ao correlaon Fncon -تابع خود همبستگی جزیی...44 Paral Aocorrelaon Fncon Aoregressve Model 4... Movng Average Sochasc Process 4... Dfference Saonar Process DSP Random walk Whe Nose - 3- مدلهاي اتورگرسیو 9- فراگرد تصادفی میانگین متحرك 4- فراگرد تصادفی 44- گام تصادفی ج

5 -4 فراگرد تصادفیprocess rend Saonar -48 فراگرد نامانا و ریشههاي واحد 48..Non- Saonar Process and Un Roos اهمیت ریشههاي واحد مسئله آزمون فرضیه Un Roo es آزمون ریشه واحد: 45- قدرت آزمون ریشه واحد -4 مدلهاي ARMA P...4 مدل اتورگرسیو مرتبه دوم و مرتبه باالتر : ARP و AR Inegraon Order MAq -- مرتبه هم جمعی -- فراگرد میانگین متحرك مرتبه q ام مدلهايProcess... Aoregressve Movng Average فراگرد تصادفیARIMA Vecor Ao regressve Process VAR he Co-Inegraon Regresson فراگرد تصادفی اتورگرسیو برداري رگرسیون هم جمعی پیوست شماره مفاهیم و نمادهاي ابتدایی 4-. خالصهاي از عملیات پایهاي ماتریس 4-8. وابستگی خطی بردارها و مرتبه ماتریس دترمینان ماتریس معکوس ماتریس ماتریسهاي افراز شده اثر ماتریس مقادیر ویژه ریشه هاي ویژه و بردارهاي ویژه ماتریسهاي متعامد 4-4- ماتریسهاي متقارن ماتریس هم قوه ماتریس هاي شبه معین و معین تمرین منابع: د

6 بنام آنکه فکرت آموخت پیش گفتار اقتصادسنجی یکی از شاخههاي اقتصاد است که نظریههاي اقتصادي ریاضیات آمار و علوم رایانهاي را براي مطالعة پدیدههاي اقتصادي با یکدیگر جمع میکند. اقتصادسنجی هم یک گرایش در رشته اقتصاد است و هم یک ابزار بسیار قوي براي غالب اقتصاددانان و دانشمندان علوم اجتماعی که آن را براي مطالعة علمی مسائل و موارد ویژه مورد استفاده قرار میدهند. هدف اولیة اقتصادسنجی کاربردي نشان دادن نظریههاي اقتصاد است. براي این منظور اقتصادسنجی شامل دامنة وسیعی از فعالیتها میباشد که عبارتند از: فرمول دقیق ریاضی و نظریههاي اقتصادي- اقتصاد ریاضی ه

7 توسعه و گسترش تکنیکهاي آماري براي مدل اقتصادسنجی و آمار- نظریة اقتصادسنجی توسعه روشها براي جمعآوري دادههاي اقتصادي- آمار اقتصاد اقتصادسنجی به مقدار زیادي از آمار ریاضی تجزیه و تحلیل عددي و علوم کامپیوتر استفاده میکند با وجود این چیزي بیش از کاربرد مستقیم این تکنیکها در مسائل اقتصادي است. اقتصاددانان مانند سایر دانشمندان علوم اجتماعی نمیتوانند شرایط را تحت کنترل خود در بیاورند و دادههاي مورد نیازشان را تولید کنند. عموما ما در مرحلة جمعآوري دادههاي آماري بهصورت انفعالی عمل میکنیم و غالبا دادههاي آماري را مورد استفاده قرار میدهیم که کامال براي هدفهایی بدون ارتباط با تحقیق مورد نظر تولید شدهاند. از طرف دیگر اقتصادسنجیدان به مجموعهاي غنی از نظریههاي اقتصادي دسترسی دارد. تا اندازهاي نظریههاي اقتصاد میتواند جایگزین طرحها و آزمایشهاي تجربی قرارگیرد یعنی در غالب اوقات نظري اطالعاتی درباره انواع عوامل اقتصادي و متغیرهایی که میباید به هم مربوط باشند ارائه میدهد. بعالوه نظریة اقتصادي میتواند اطالعاتی را درباره اهمیت و آثار میان متغیرهاي اقتصادي عرضه کند. در نتیجه وظیفه دیگر روش اقتصادسنجی این است که ابزاري را ارائه دهد که توسط آن اطالعات غیرنمونهاي بتواند وارد تالشهاي ساخت یک مدل شود. متاسفانه اقتصاد جزء علوم دقیقه نیست درحالی که نظریه اغلب میتواند انواع کلی عواملی را که میباید در یک رابطة اقتصادي درگیر شوند نشان دهد و در مورد فرم دقیق ریاضی نوعا ساکت است. همچنین نمیتواند پیشنهادي راجع به چگونگی اندازهگیري توانایی فرد درآمد دائمی و انتظارات ارائه دهد. در حقیقت نظریههاي اقتصادي ماهیتا قیاسی میباشند. نتایج نظریه بهطور منطقی از مفاهیم اولیه پیروي میکند. هیچ تضمینی وجود ندارد که دادههاي اقتصادي که مشاهده میکنیم به واسطة فرایندي که توسط نظریة خاص اقتصادي تشریح کردهایم تولید شده باشد. همه این عوامل ما را متقاعدتر میکند که تمرین اقتصادسنجی توام با یک نااطمینانی است. یک راه مشخص و آشکار که ثابت کند نااطمینانی در داخل تجزیه و تحلیلهاي اقتصادي وجود دارد واردکردن جملة تصادفی در روابط اقتصادي میباشد که مدلهاي جبري را تبدیل به مدلهاي تصادفی میکند. دالیلی به شرح زیر براي وارد کردن جزء اخالل در مدل وجود دارد. و

8 اوال : بحث میشود که مدلها براي تحقیقات کاربردي است و تقریبی از روابط واقعی میباشد که دادههاي آماري را تولید میکند. نظریهها همانطور که مدلها براي آزمون و یکپارچگی نتایج قضایا بهکار برده میشود تقریبی میباشند. دو نوع منبع و پایة تقریب وجود دارد: یکی حذف عوامل از مالحظات فکري که علیاالصول نامربوط است و دیگر این که تشخیص رابطة تبعی ریاضی که در عمل انتخاب شده است و احتماال از یک فرم تبعی واقعی گرفته نشده است. جمله اختالل و تصادفی یا جملة خطا بیانگر چنین صورتی از تقریب است. ثانیا : براي وارد کردن جملة خطا آن است که حتی اگر تمام متغیرهاي مربوط در یک مدل اقتصادسنجی داخل شوند و فرم تبعی نیز بهطور صحیح طراحی شده بود رابطة بین متغیرها دقیق نیست بهدلیل این که در رفتار واحدهاي اقتصادي جبر وجود ندارد. در آخر اقتصاددانها اغلب متغیرهاي اندازهگیري شدهاي را بهکار میبرند که به درستی نشانگر عوامل نمیباشند که توسط نظریه بیان گردیده است. این اندازهگیري در خط بهوسیلة متغیرهایی که بهعنوان نماینده بهکار برده میشوند ایجاد شده و موجب میشوند که ارائه مدلهاي اقتصادسنجی از روابط اقتصادي دقیق نباشند. البته این قضاوتها مانعهالجمع نیستند و هرکدام یا همه آنها ممکن است به یک مدل خاص مربوط شود. وارد نمودن جمله تصادفی خطا در یک مدل اقتصادسنجی بدین معنی است که براي مشخص نمودن کامل یک مدل و رابطه نباید فقط مجموعهاي از متغیرها را که در روابط اقتصادي و فرمهاي ریاضی که بین متغیرها وجود دارند فرض نمود بلکه میباید مجموعهاي از فروض را هم به روي توزیع جمله اخالل قرار داد. وقتی مدلهاي اقتصاديسنجی بهطور صحیح مشخص میشوند نظریههاي آماري ابزار و وسایل تخمینهاي فاصلهاي و نقطهاي پارامترها را فراهم میآورند فرضیهها و راههاي ارزیابی نتایج و عملکرد آن قوانین را آزمون میکنند. اگر نااطمینانی منجر به این شود که اینها به یک مدل غیرصحیح ختم میشوند آنگاه قوانین و قواعد و مراحل انجام شده ممکن است دیگر ویژگیها و تبیین صحیح نداشته باشند در نتیجه تمرکز دیگر نظریه اقتصادسنجی بر این است که به نتایج فروض غلط و توسعه متدهاي مختلفی براي کشف و ارائه صحیح تصریحهاي مختلف منجر گردد. دالیلی که یک مدل اقتصادسنجی را میتوان تخمین زد مختلف است: ز

9 اقتصاددان بهطور طبیعی عالقهمند است ساختار اقتصاد و رفتار واحدهاي اقتصادي را مورد مطالعه قرار دهد. امنیتهاي اقتصادي در روابط اقتصادي اقتصاددان را وامیدارد که صحیح بودن نظریههاي اقتصادي را آزمون کند و اگر مدل تخمینزده شده غیرمفید و نامناسب تشخیص داده نشد اطالعات تعدادي براي پدیدههاي اقتصادي بهدست میدهد. این اطالعات تعدادي عالوه بر این که دانش عمومی ما را افزایش دادهاند چند وظیفه دیگر از آن میتوان استنباط کرد. روابط اقتصادي تخمین زده شده پایه و اساس پیش بینی متغیرهاي مهم اقتصادي قرار میگیرد. این پیشبینیها ممکن است براي سیاستگذاران اقتصادي ارزشمند باشد. کسانی که دوست دارند آثار و حساسیتهایی را که در تغییر متغیرهاي اقتصادي تحت کنترل آنها بهوجود میآورد را پیش بینی کنند. ح

10 فصل اول فصل اول

11 4 فصل اول k k عبارت است از مشاهده ام بر روي متغیر مستقل 4 4- مدل رگرسیون خطی کالسیک چند متغیره, ام از متغیر وابسته, مدل خطی زیر را در نظر بگیرید: است از مشاهده عبارت ضریب متناظر با متغیر مستقل در مدل رگرسیون میباشد. و باالخره جمله خطا مربوط به ام. مشاهده ام میباشد. متغیر مستقل را میتوانیم رگرسور و جمله خطا را متغیر بر همزننده نیز نامگذاري x x x کنیم. عبارتست از تعداد مشاهدات و K تعداد رگرسورها یا متغیرهاي توضیحی در مدل میباشند. x x x xk x k xk مدل فوق را میتوانیم بصورت زیر بنویسیم: K و که بردار ماتریس بردار میباشد بنابراین:,,,,,,,, k -4-4 فرضهاي اولیه مدل کالسیک K میباشد بطوریکه در نمونههاي بزر که تعداد با مرتبه ماتریسی غیرتصادفی Lm / مشاهدات به سمت بینهایت میل میکند: Q Q یک ماتریس غیرمنفرد معکوسپذیر است. شامل خطاهاي غیرقابل مشاهده است به نحویکه شرایط زیر را برآورده سازد: - - بردار. Nonsochasc. Rank

12 فصل اول: ماهیت مدلهاي اقتصادسنجی مستقل مینامیم. باتوجه به شرط E E I را بصورت زیر تعریف کنیم: میتوانیم میانگین شرطی متغیر وابسته E x مفهوم عبارت باال این است که امید ریاضی متغیرهاي تصادفی میباشند. بدلیل اینکه متغیر توسط متغیرهاي توابعی خطی از متغیرهاي توضیح داده میشود آن را متغیر وابسته توجه: فرض اول کالسیک رفتار متغیرهاي مستقل را محدود میکند بطوریکه مثال تعداد آنها نمیتواند با سرعت افزایش مشاهدات افزایش یابد همچنین هیچ یک از این متغیرها نمیتواند روي همه مشاهدات صفر باشد و یا رابطه خطی با متغیرهاي دیگر مستقل داشته باشد. مثال فرض کنید C یک ماتریس منفرد است. در اینصورت نشان دهید که : Lm شده فرض همچنین وجود همخطی بین متغیرهاي مستقل را نفی کرده است و آن بخاطر مرتبه تعریف است. چون هیچ ستونی از ماتریس نمیتواند ترکیب خطی از سایر ستونهاي باشد. فرض از فروض کالسیک توزیع احتمال جمله اخالل را مشخص میکند بطوریکه این جمالت همگی بطور مستقل و یکنواخت با میانگین صفر و واریانس ثابت توزیع شدهاند. OLS روش حداقل مربعات معمولی و میباشد.,, k مسئله تخمین مدل خطی کالسیک مستلزم تخمین پارامترهاي مجهول k را بنحوي انتخاب میکند که مجموع مربعات خطاها,,, روش حداقل مربعات معمولی مقادیر مینیمم شود یعنی : که بصورت ماتریس خواهیم داشت: ^ S k k 3. Ordnar Leas Sqare

13 فصل اول: ماهیت مدلهاي اقتصادسنجی 8 S شرایط الزم براي مینیمم کردن تابع باال با مشتقگیري نسبت به و سپس برابر صفر قرار دادن آن بدست خواهد آمد لذا خواهیم داشت: S S معادالت نرمال S : یا S ' S ماتریس مشتق دوم این تابع عبارتست از : است لذا این ماتریس مثبت معین 4 تابع را مینیمم میکند. ^ ماتریس واریانس- کوواریانس نیز یه صورت زیر است: VC E E E ' E ' E E ^ ^ E چون I لذا ماتریس واریانس کوواریانس میباشد و امید ریاضی عملگري است که از کمیتهاي غیرتصادفی عبور نمیکند VC برابر است با : -4-4 قضیه GAUSS MARKOV گوس و مارکف در میان این قضیه میگوید تخمینزننده OLS بهترین تخمینزننده خطی و بدون تورش 5 6 تخمینزنندههاي خطی و بدون تورش است که به آن BLUE گفته میشود. 4. Posve Defne 5. Bas

14 فصل اول: ماهیت مدلهاي اقتصادسنجی چون غیرتصادفی است. E E E چون E است. OLS و لذا است. بدون تورش 7 براي نشان دادن کارآیی حداقل واریانس داشتن تخمینزننده و اینکه دهید تخمینزننده خطی دیگري را در نظر بگیریم. ابتدا ناتور بودن را بررسی میکنیم: بهترین است اجازه H H C H H H, E EH H I بطوریکه: که یک ماتریس ثابت است سپس: شرط بدون تورش بودن ایجاب میکند که : باشد. C I C c C لذا در صورتی H I گرفتیم. پس تخمینزننده خواهد بود که خطی و بدون تورش است. و غیرتصادفی باشد که در باال ثابت در نظر E EHH E اما ماتریس واریانس کوواریانس عبارتست از: C C C C CC CC C چون است. ولی CC یک ماتریس مثبت شبه معین است. لذا واریانس بزرگتر از واریانس است. 6. Bes Lnear Unbased Esmaor 7. Unbased

15 فصل اول: ماهیت مدلهاي اقتصادسنجی 5 چون اختالف یک ماتریس مثبت شبهمعین است بنابراین تخمینزن کوچکترین واریانس را دارد و در نتیجه نسبت به سایر تخمینزنندههاي خطی کارآ است و چون یک تخمینزننده بدون تورش نیز است به همین دلیل OLSرا یک تخمینزننده BLUE بهترین خطی بدون تورش مینامند. یادآوري: اوال : قضیه گوس- مارکف تنها در مورد نمونههاي کوچک صادق است. یعنی باتوجه به فروض مدل کالسیک نتیجه قضیه براي هر اندازهاي از نمونه که K باشد تخمین زننده بدون تورش است. ثانیا : ما در اینجا نوع توزیع جمله اخالل را مشخص نکردیم پس ضرورتا نبایستی داراي توزیعی نرمال 5-- قضیه: در مدل رگرسیون خطی کالسیک تخمین باشد. است با : یک تخمین بدون تورش است که برابر 3 K بطوریکه: اثبات: بدون تورش بدون با گرفتن امید ریاضی از مربع تخمین جمالت اخالل بدست میآید. I که M M I I M M یا: M M MM M E E M M M EM توجه: ماتریس M به نحویکه مرتبه M است یعنی: یک ماتریس متقارن و همقوه 8 M برابر است. بنابراین مجموع مربعات با اثر 9 عبارتست از: M یک اسکالر است و اثر آن با خودش برابر است لذا : چون 8. Idempoen 9. race

16 فصل اول: ماهیت مدلهاي اقتصادسنجی E M Er M rem Er M rm. E rm I rm rm ri r ri r ri E r چون AB rba یک تابع خطی است. غیرتصادفی است. ra B ra rb rab rba ri K E / K K K لذا : چون r چون M داشتیم: M I که: چون چون بدون تورش بودن بنابراین: ثابت شد.

17 فصل اول: ماهیت مدلهاي اقتصادسنجی مثال: در شکل پراکندگی دادههاي آماري مربوط به درآمد قابل تصرف و مخارج بخش خصوصی آمده است. شکل 4 پراکندگی داده هاي مخارج بخش خصوصی در مقابل درآمد قابل تصرف جدول نتایج تخمین تابع مصرف 48 شکل ترسیم متغیر مشاهده شده- تخمین آن و جمالت پسماند

18 3 فصل اول: ماهیت مدلهاي اقتصادسنجی

19 فصل دوم فصل دوم

20 فصل دوم 4- تجزیه تغییرات متغیر وابسته بطور کلی در یک مدل رگرسیون کل تغییرات متغیر وابسته برابر است با مجموع تغییرات توضیح داده شده و مجموع خطاها که معموال بصورت زیر نوشته میشود: SS= ESS + RSS مجموع خطاها + مجموع تغییرات توضیح داده شده =کل تغییرات و یا میتوانیم آنرا به صورت زیر بنویسیم: ^ ^ ^ براي اثبات اینکه رابطه فوق برقرار است ابتدا قضایاي زیر را بر رسی میکنیم.. SS = oal Sm of Sqare ESS = Explaned Sm of Sqare RSS = Resdal Sm of Sqare

21 فصل دوم: مدل رگرسیون خطی و فروض کالسیک 44 قضیه - می دانیم که مشاهده ام از متغیر وابسته برابر است با برآورد همان مشاهده بعالوه برآورد خطاي متناظر با مشاهده ام از متغییر وابسته یعنی: û ŷ حال چنانچه بردار مشاهدات را براي و درنظر بگیریم مجموع مجذورات طرفین رابطه با استفاده از جبر خطی بصورت زیر خواهد شد: می توان نشان داد که جمالت دوم و سوم در سمت راست برابر صفر است چون داریم: [ x ] ^ x [ x x x ] x x x x از طرفی به دلیل عدم ارتباط بین جمالت پسماند و متغیرهاي مستقل x است x xm x I x x x x چون: پس ثابت شد که: ' ' ^ ^ لذا داریم: قضیه - است. یعنی : چنانچه مدل رگرسیون خطی داراي عرض از مبدا باشد میانگین جمالت پسماند برابر با صفر û اثبات: x از قبل داشتیم چنانچه آنرا به صورت ماتریسی باز بنویسیم داریم:

22 فصل دوم: مدل رگرسیون خطی و فروض کالسیک 4. [.,...,. k ] ^ x x x ^ x x. k x x k رابطه فوق زمانی برقرار است که تکتک عناصر بردار اول برابر صفر باشد. لذا جمله اول این بردار برابر صفر است. پس داریم: x اگر مدل داراي عرض از مبدا باشد x است و خواهیم داشت: قضیه - اگر مدل رگرسیون خطی همچنان داراي عرض از مبدا باشد میانگین مشاهدات بر روي متغیرهاي وابسته برابر است با میانگین برآورد آنها یعنی: اثبات: از رابطه داریم: چون جمله دوم سمت راست برابر صفر است پس : قضیه 4- حال میتوان با توجه به قضایاي رابطه را اثبات نمود: را کسر چون می باشد از سمت راست رابطه مقدار و از سمت چپ آن مقدار می کنیم:

23 فصل دوم: مدل رگرسیون خطی و فروض کالسیک 48 و لذا حکم ثابت شد: ' ^ ^ ^ ' ' ^ ^ ŷ ŷ û چون: پس چنانچه مدل داراي عرض از مبدا باشد مجموع تغییرات متغییر وابسته برابر است با مجموع تغییرات توضیح داده شده بعالوه مجموع خطاها که آنرا می توان بصورت فوق نوشت. شکل 4 تجزیه تغییرات متغیر وابسته - ضریب تعیین یا خوبی برازش: R یا ضریب تعیین قدرت توضیح دهندگی مدل را نشان میدهد. یعنی نشان میدهد که چند درصد تغییرات متغیر وابسته توسط متغیرهاي توضیحی توضیح داده شدهاند و عبارتست از نسبت تغییرات توضیح داده شده به کل تغییرات: R R ESS SS RSS RSS SS SS SS

24 فصل دوم: مدل رگرسیون خطی و فروض کالسیک 4 بعبارت دیگر R عبارتست از : R ^ ^ ^ چنانچه مدل داراي عرض از مبدا باشد R صورت دیگري میتوان براي در نظر گرفت: می باشد. R R [ ] رابطه باال نشان میدهد که R عبارت است از ضریب همبستگی ساده بین متغییر وابسته و برآورد آن یا بعبارت دیگر نشان دهنده ضریب همبستگی بین مقدار واقعی متغیر وابسته و مقدار برازش شده آن میباشد. توجه: چنانچه مدل داراي عرض از مبدا نباشد مقدار ضرورتا بین صفر و یک نخواهد بود ممکن است مقدار منفی نیز اختیار کند.

25 فصل دوم: مدل رگرسیون خطی و فروض کالسیک 45 مثال: با توجه به داده هاي آماري زیر مدل اثرات درآمد ملی و نرخ بهره را برروي سرمایه گذاري بررسی میکنیم. EAR GNP INVES CPI INERES مدل اول رابطه بین سرمایه گذاري حقیقی و تولید ناخالص ملی حقیقی را بررسی میکند که نتایج در جدول آمده است. جدول

26 فصل دوم: مدل رگرسیون خطی و فروض کالسیک 4 در مدل بعدي به منظور روند زدایی از متغیرها متغیر زمانرا نیز وارد میکنیم. نتایج در جدول آمده است و مالحظه میشود که ضریب سرمایهگذاري تغییر محسوسی نموده است و این نشانگر آنست که اثرات متغیر زمان نه تنها باعث کاهش اثرات تولید ناخالص ملی حقیقی نگردیده است بلکه موجب افزایش آن نیز گردیده است. چون گمان میرفت وجود مروند در متغیرهاي سري زمانی منجر به ایجاد رابطه کاذب بین متغیرهاي نامربوط میشود. در حالیکه مالحظه میکنیم در اینجا روند زمانی حتی اثرات رو به پایین بر روي سریهاي زمانی داشته است.

27 فصل دوم: مدل رگرسیون خطی و فروض کالسیک 4 جدول حال اجازه دهید به منظور تصریح بهتر مدل متغیر نرخ بهره حقیقی را که حاصل تفریق نرخ تورم از نرخ بهره اسمی است را در مدل وارد کنیم. نتایج در جدول آمده است.

28 فصل دوم: مدل رگرسیون خطی و فروض کالسیک 43 جدول 8

29 فصل سوم فصل سوم

30 فصل سوم 4-8 تئوري مجانبی بهطور کلی تخمین زننده چنانچه بتوانیم توزیع طریق توزیع تابعی از متغیرهاي تصادفی است یعنی: F,,..., را از توزیع ها محاسبه کنیم در آنصورت قادریم ویژگی هاي تجزیه و تحلیل کنیم را از اگر همه اطالعات الزم را درباره توزیع نداریم ممکن است به دو گشتاور اولیه میانگین و واریانس اکتفا کنیم چنانکه آن هم میسر نباشد ویژگیهاي حجم نمونه بزر میشود تجزیه و تحلیل کنیم این عمل را تئوري مجانبی میگویند -8 حد احتمالی دنباله تصادفی دنبال تصادفی,,..., بهسمت ثابت C گرایش پیدا میکند اگر: را که داراي توزیع F.,F...F n. c for را میتوانیم وقتی میباشد بهطور احتمالی Lm p نامساوي داخل پرانتز یا صحیح است یا غلط احتمال درست بودن آن توسط تابع توزیع تعیین میشود,C, دنباله تصادلی متغیرهاي..,, در احتمال بهسمت ثابت C احتماالت براي صفر شود مربوط به. n F گرایش پیدا میکند اگر حد این دنباله P lm C یعنی حد احتمالی دنباله تصادفی برابر با C میباشد این مفهوم دقیقا برابر است با اینکه بگوییم: دنباله,..., در احتمال به سمت C گرایش پیدا میکند اما کلمه حد احتمال داراي این امتیاز است که روي - Asmpoc heor. - Convergence n Probabl of a Random Seqence.

31 فصل سوم: روش تخمین حداقل مربعات معمولی OLS 4 C,..., تفاوت آن با حد معمولی مطمئن باشیم که تاکید میکند وقتی که دنباله غیرتصادفی با حد است وقتی به اندازه کافی بزر میشود وقتی میباشد میتوانیم,..., c c,..., دنباله تصادفی با حد C میباشد فقط میگوییم صحیح است حد معمولی حالت خاصی از حد احتمال است مثال: دنباله تصادفی با احتمال دلخواهی که نزدیک به یک است را در نظر بگیرید که داراي میانگین و واریانس با توزیع n N Var N Lm p for P lm x,x,..., x n نرمال است میانگین نمونه n آنگاه یا: بهطور احتمالی به سمت میل میکند احتمال انحراف از P و واریانس اثبات از طریق قضیه نامساوي چه بیشف این قضیه میگوید براي هر متغیر تصادفی Z با میانگین معین K میانگین برابر یا بزرگتر از K ضربدر انحراف معیارش حداکثر برابر است Z K K K n و واریانس x n یعنی : شد در مورد مثال میانگین میباشد بهطوریکه نامساوي فوق بهصورت زیر خواهد n K P K n n n Lm P n n یعنی: چون نتیجه بسیار مهم در حد بسمت صفر میل میکند در نتیجه: قضیه خین چین x,x,..., اگر x n 4 متغیري با توزیع مستقل و یکسان و با میانگین معین باشد در آنصورت متوسط در احتمال به سمت میل میکند 5 x n x 3 - Khnchne s heorem.

32 فصل سوم: روش تخمین حداقل مربعات معمولی OLS توجه کنیم این قضیه راجع به واریانس x سخنی به میان نمیآورد -8 قضایاي اسالتسکی نتایج فوق قابل تعمیم به بردارها و ماتریسها میباشد همچنین اگر دنباله تصادفی,..., n احتمالی C میباشد تابعی پیوسته از موارد استفاده: نیز بهسمت تابعی ا ز C میل میکند Plm g gplm Plm a Plm a Plm a n n n n gc b Plm a Plm b / b Plm a / Plm b a e b Plm a.plm b e Plma داراي حد Plm Plm A Plm A سازگاري حال چنانچه بجاي دنباله تصادفی تخمین زنندهاي را در دست داشته باشیم مانند پارامتر جامعه میباشد اگر یا: که برآوردي از n در احتمال بهسمت تخمین زننده فوق را سازگار میگویند مثال در مورد مثال میانگین نمونه گفتیم اینکه بگوییم گرایش پیدا کند داریم: Lm p n for Plm n n x x تخمین سازگاري از روشن شد براساس قضیه چه بیشف پس: شرط کافی براي آن که صفر میل کند: در احتمال بهسمت میل میکند این جمله برابر است یا و n Ex میباشد و این مسئله با نشان دادن اینکه سازگار باشد آنست که در حد بدون تورش باشد و واریانس آن به سمت Lm E و Lm Var توجه کنیم شرط کافی است ولی الزم نیست یعنی ممکن است تخمین زننده داراي تورش باشد ولی سازگار باشد یعنی تورش در حد به سمت صفر میل میکند در بعضی موارد حتی الزم نیست واریانس آن معین باشد: قضیه Khnchne,x,..., x n x متغیر..d با میانگین معین باشد درآنصورت n تخمین سازگاري از میگوید اگر است 4 - Independenl Idencall Dsrbed. 6 - Conssenc. 5- اثبات این قضیه از طریق تابع گشتاور میسر میباشد

33 فصل سوم: روش تخمین حداقل مربعات معمولی OLS 8 تحت شرایط استاندارد مدل رگرسیون خطی OLS سازگاري در حقیقت سازگاري میگوید وقتی حجم نمونه بزر میشود شانس بسیار کمی وجود دارد که تخمین U Lm Q E Var Lm Var Q یک پارامتر متفاوت از خود پارامتر باشد با توجه به فرض اینکه: بدون تورش است و واریانس آن بهسمت صفر میل میکند تخمین زنندهاي سازگار است داریم: لذا چون U U K E Var سازگاري K چون واریانس آن به سمت صفر میل میکند و بدون تورش است سازگار است 7 U توزیع احتمالی براي تخمینزنندههاي OLS قبال در قضیه گوس و مارکف را بهصورت زیر معرفی کردیم: N, N, E لذا اختالف تابعی خطی از میباشد پس: اگر از این عبارت امید بگیریم امید این اختالف صفر است یعنی و اگر: در نتیجه: اما معموال معلوم نیست و بهجاي آن از استفاده میشود بهصورت زیر است: 7 - K K E K K Var K K 8 - Probabl Dsrbon.

34 فصل سوم: روش تخمین حداقل مربعات معمولی OLS û U U K K U U M U MU قبال ثابت کردیم û M M پس عبارت فرم درجه دوم برحسب بهطوریکه: میباشد که ماتریس وزنی آن M است که متقارن و هم قوه است racem K RankM C چون M متقارن است لذا این امکان وجود دارد که ماتریس متعامد را طوري پیدا کرد که صفر درقطر اصلی دارد وC ماتریس بردارهاي V CU U CV EVV ECUU'C C IC وK یک ماتریس قطري است که-K D باشد CMC D K ویژه ماتریس M می باشد بردار را می توانیم بوسیلهC به بردارV تبدیل کنیم CC ÛÛ برحسبV جایگزین می کنیم: در UMU ÛÛ UMU VCMCV VD K V V V... V K الف- براساس عبارت : اگر U ها بطور مستقل و نرمال توزیع شدهاند بامیانگین صفر و واریانس ها هم به همین ترتیب توزیع شده اند V V که به طورمستقل و نرمال توزیع K K K Û ب- مجموع مجذورات پسماندها عبارت از مجموع مجذورات شده است می باشد پس: براي آنکه نشان دهیم از توزیع شده است چون و بطور مستقل توزیع شده است می باید نشان دهیم که بطور مستقل از هر کدام تابعی خطی از توزیع نرمال هستند مستقل بودن ازرابطه زیر E û ' EI xx x Cov û بدست میآید: همانطور که قبال گفته شد هرگاه تحت شرط Q میل کند توزیعش به نقطه تبدیل Lm degenerae به این نتیجه می رسیم که وقتی میشود که اصطالحا می گوئیم می شود

35 فصل سوم: روش تخمین حداقل مربعات معمولی OLS 5 لذا دربحث توزیع احتمالی صفر میل نکند چون: پس راه دیگر بیان را در مقیاس ضرب نموده تا درآنصورت به سمت Var N, آن است که بگوئیم: داراي توزیع چند بعدي با میانگین صفر و واریانس کوواریانس است پس اگر ها نرمال نباشند توزیع دقیق را مشکل بتوان بدست آورد در چنین شرایطی راهی که را موجب بدست آوردن توزیع احتمالی بطور تقریب میشود آن است که ویژگی هاي حدي در نظر گرفت تحت شرایط فروض کالسیک N, Q را سرعت همگرایی مینامند و به تخمین زنندههاي OLS است این توزیع را توزیع مجانبی میگویند سازگار اطالق میشود چون سرعت آن

36 فصل چهارم فصل چهارم

37 فصل چهارم 4- معنیدار بودن ضرایب و فاصله اعتماد j غالبا آزمونی که در مدل رگرسیون خطی براي ضرایب انجام میشود این است که آیا ضرایب برابر مقدار خاصی میباشند یا خیر مثال این مقدار خاص میتواند صفر باشد ضریب متغیر j ام مدل را در نظر بگیرید فرضیه صفر این است که: آزمون کردن این فرضیه یعنی اینکه آزمون نمودن این موضوع که آیا متغیر معنیداري روي متغیر وابسته اثر میگذارد یا خیر خاص H : j j j ام از نظر آماري بطور تحت فرض نرمال بودن جمله اخالل ضرایب تخمینزده شده داراي توزیع نرمال خواهد بود و بطور داراي توزیع نرمال با میانگین j عبارتست از عنصر j ام روي قطر ماتریس VC بطور استاندارد نرمال توزیع شده است اما میدانیم که تخمین و واریانس jj خواهد بود که jj j j jj Z یعنی ^ K K بصورت زیر توزیع شده است لذا نسبت را بصورت نسبت مینویسیم که داراي توزیع میباشد چون j ام استاندارد ارور خواهد شد j j jj K

38 فصل چهارم: آزمون فرضیه و فاصله تخمین 3 K j jj û jj j j j K P / / P.. j / j j j / j -K / لذا خواهیم داشت: براساس نظریه احتمال / بنابراین : احتمال بطوریکه مقدار توزیع فاطمه اعتماد براي ضریب براي سطح معنی دار بودن خواهد شد با درجه آزادي پس با است j j /. j % مثال %5 فاصله اعتماد عبارت است از تخمین پارامتر j ام و سطح معنیدار بودن 5. ضریب ضربدر انحراف معیار مربوطه به اضافه یا منهاي مقدار توزیع بطور معنیداري از صفر متفاوت است هرگاه فاصله اعتماد شامل صفر نشود فرض در H را j j رد میکنیم بعکس پارامتر شامل شود را میپذیریم بطور معنیداري از صفر متفاوت نیست هرگاه فاصله اعتماد مقدار صفر را j H ضریبj ما فرض کنیم بصورت مثبت است اگر فاصله اعتماد مرکز مختصات را در بر بگیرد در آنصورت نسبت براي خواهد شد j j j

39 فصل چهارم: آزمون فرضیه و فاصله تخمین 9 در شکل توجه شود j در سطح % اطمينان معنيدار است - j / / j j j / j j / / j j j در سطح % اطمينان معنيدار نيست - j / / j j j / j / j / j j لذا نسبت j عبارتست از نسبت تخمین ضریب رگرسیون به انحراف معیارش که معنی دار بودن ضریب را تعیین میکند: بطور کلی فرضیه صفر H : j پذیرفته میشود اگر قدر مطلق متناظر با سطح خاصی از معنیدار بودن باشد و این فرضیه رد میشود در صورتیکه باشد j j کوچکتر ازمقدار از این مقدار بیشتر نسبت کوچک نشان میدهد که متغیر توضیحی مربوط رابطهاي با متغیر وابسته مدل ندارد ولی اگر نسبت از مقدار بحرانیدرسطح انتخاب شده معنی دار بودن بزرگتر باشد در آنصورت ضریب مربوط معنی دار است یعنی متغیر وابسته بطور خطی بامتغیر توضیحی مربوط وابسته است براي درجه آزادي بزر براي 3< توزیع تقریبا شبیه نرمال است در این مورد قاعده کلی 9 تفسیر این است که اگر نسبت بزرگتر از میباشد ضریب مربوط معنی دار است و بر عکس اگر نسبت از کوچکتر است درآنصورت ضریب مربوط بطور آماري با صفر تفاوتی ندارد نسبت میتواند براي آزمون مقادیر دیگر از بپوشاند j و سایر آزمونهاي مثل F و غیره مورد استفاده قرار گیرد حال فرضیه صفر زیر را در نظر بگیرید: فرض کنید H : j j از j j بزرگتر است ممکن است فاصله اعتماد طوري انتخاب شود که را j - مثل قانون شصت در تعیین جهت میدان مغناطیسی در فیزیک

40 فصل چهارم: آزمون فرضیه و فاصله تخمین 8 j j / j. j j j / و خواهد شد: بطور کلی اگر قدر مطلق از براي درجه آزادي -K بزرگتر باشد آنگاه سطح معنیدار بودن فرضیه رد میشود اگر پایین منطقه بحرانی بیفتد فرضیه H پذیرفته میشود. %

41 پنجم فصل

42 فصل پنجم 4-5 پیشبینی همانطور که گفته شد وظیفه اصلی اقتصاد سنجی پیشبینی است که بر اساس تخمین پارامترهاي مدل + رگرسیون انجام میگیرد. فرض کنیم محققی عالقه مند است مقدار+ را متناظر با بردار رگرسور + پیشبینی کند. مقدار در دوره + عبارت است از: + = +β + + با توجه به قضیه گوس- مارکف و با جایگذاري خواهد شد که که تخمین زننده اي خطی و بدون تورش است پیش بینی کننده خطی بدون تورش با کمترین واریانس براي E p + = +β که + مقدار تحقق p p p e p e p E e o Var e Var p [ ] p است چون: اما در اینجا دچار خطاي پیشبینی خواهیم شد که عبارتست از تفاضل یافته در دوره پیشبینی شده است. در اینجا خطاي ما بطور متوسط صفر است چون: واریانس خطاي پیشبینی کننده عبارتست از:. Predcon

43 فصل پنجم: پیش بینی کننده Perdcor 88 [ ' ] ' اگر مدل داراي عرض از مبدا باشد در آنصورت: p jk Var e [ x x x x z M z ] k k, j j, k k j k p k Var e { [ x x zm z x x zm z... xk xk zm z ] } ' [,,...,]. بطوریکه Z عبارتست از -k ستون x یعنی: بطوریکه: M [ ] z. k.. k I و این نتیجه نشان میدهد که میزان پراکندگی و خطاي پیش بینی کننده بستگی به فاصله x+ از مرکز مشاهدات دارد و با حجم مشاهدات بطور معکوس رابطه دارد یعنی درجه نااطمینانی در پیشبینی با کاهش اندازه نمونه افزایش مییابد. بجاي قابل محاسبه است. p Var e با استفاده از فاصله اعتماد نیز براي + p بصورت زیر خواهد بود: P. p / = فاصله اعتماد براي پیشبینی کننده Se e p p Se e Var e مثال: پیشبینی میزان سرمایهگذاري حقیقی براي مدل سرمایهگذاري که قبال به آن پرداخته شد براي یکسال بعد + =, 6,.5,, 4 =Inercep 6 = + = = Real GNP = Ineres Rae 4 = Inflaon Rae بصورت زیر است: با استفاده از نتایج مدل رگرسیون زیر که براي = محاسبه شده است: Real Inv = β + β + β Real GNP + β3 Ineres Rae + β4 Inflaon Rae Real Inv = RGNP. InR.9 InfR

44 فصل پنجم: پیش بینی کننده Perdcor 8 ^ p Re alinv,6,.5,,4[.59,.7,.67,.,.] =.36 [ ' '].97 تخمین واریانس این پیشبینی کننده عبارتست از: و با جذر گرفتن از عدد فوق فاصله اطمینان براي پیشبینی کننده عبارت خواهد شد از:

45 فصل ششم

46 فصل ششم 4- روش حداقل مربعات همراه با محدودیت اجازه دهید موضوع را با چند مثال اقتصادي که با آن آشنا هستید آغاز کنیم. مثال 4 : تابع تولید کاب-داگالس زیرا در نظر بگیریم. میدانیم که همگن درجه اول بودن شرط مناسبی براي تولید است. اما سئوال این است که این شرط در داخل دادههاي مورد مشاهده یک بنگاه وجود دارد براي پاسخ به چنین سوالی ابتدا با لگاریتم گیري تابع را به صورت خطی تبدیل میکنیم. در این تابع Q سطح تولید K نهاده سرمایه و L نهاده کار است. A ضریب تکنولوژي و جمله اختالل میباشد. LnA 3 a Q AK L e LnQ LnA Lnk 3 LnL LnK LnL 3 فرض کنیم مزبور داریم: یعنی همگن از درجه اول بودن تابع تولید. با اعمال چنین قیدي در تابع. Resrced OLS

47 فصل ششم:روش تخمین حداقل مربعات معمولی مقیدRLS 8 مالحظه میشود که مدل فوق تابعی است صرفا با دو پارامتر. مثال : مدل 5 متغیره زیررا در نظر بگیریم. بطوریکه :,, 3, 4, 5 چنانچه بین پارامترهاي مدل باال روابط زیر برقرار باشد: روابط فوق را که بر اساس نظریههاي اقتصادي لحاظ میشود را میتوانیم در قالب فرم ماتریسی بنویسیم. 3 R 3 5 R r 5 r ماتریس R و بردار r را در نظر بگیریم : قید ما در این مدل عبارتست از: وr بردار.K برداري. G میباشد. حال در بکار بردن روش حداقل مربعات Mn S. R r و ماتریسیG.K R میباید قید باال لحاظ شود. لذا: و یا :

48 فصل ششم:روش تخمین حداقل مربعات معمولی مقیدRLS 83 Mn S. R r L r R L L r R r R R R R r R R R R R R اگر طرفین رابطه باال را در R پیش ضرب میکنیم داریم: R حال چنانچه محدودیت را براي مقادیر تخمین زده شده اعمال کنیم r خواهد شد لذا: r R R R r R R R R R r R R R r R R' معادله فوق را براي و در نتیجه خواهیم داشت: حل کنیم: R ^ R چنانچه محدودیتها در داخل نمونه وجود دارند آنگاه r بدون تورش بودن خواهد شد و در نتیجه: بدون اریب است. I E R [R : می توان بسادگی نشان داد که R R R R r R R R R R R ]

49 فصل ششم:روش تخمین حداقل مربعات معمولی مقیدRLS 89 Vc E E{I R [R {I {I R [R R ] R [R R ] Vc Vc R [R Vc R ] R} R ]R} R R Vc } ماتریس واریانس کوواریانس R Vc مثبت معین است R Vc R[ R Vc R ] R Vc چون واریانس مثبت معین است و R داراي مرتبه کامل است لذا در نتیجه R] [ R Vc مثبت معین و معکوس پذیر است. در نتیجه: Vc مثبت شبه معین است. لذا تفاوت بین Vc که عناصر روي قطر ماتریس واریانس کوواریانس و مثبت شبه معین است و این نشان میدهد کمتر یا مساوي عناصر متناظر از ماتریس واریانس کوواریانس می باشد. این نتایج همواره برقرار است.. H : R r ^ ^ ' [ R ' R] R r E { ' '[ ' '] } ' '. VC E I R R R R ' ' { I ' R '[ R ' R '] R}' { I ' R '[ R ' R '] } ' ' ' { I ' R '[ R ' R'] { I ' R '[ R ' R '] R} ' { I ' R '[ R ' R '] R}' { ' ' R '[ R ' R '] R ' }{ I ' R '[ R ' R '] R}' ' { I R '[ R ' R '] R ' }{ I ' R '[ R ' R '] R}' ' { I R '[ R ' R '] R ' R '[ R ' R '] R ' '[ ' '] [ ' '][ ' '] ' } ^ { '[ ' '] ' '[ ' '] ' } ^ VC { I R '[ R ' R '] R ' } R R R R R R R R VC I R R R R R R R R ^ ^ ^ VC { I R '[ R VC R '] R VC } ^ ^ ^ ^ VC VC { VC R '[ R VC R '] } R VC } R}'

50 لصف RLSدیقم یلومعم تاعبرم لقادح نیمخت شور:مشش زا رتگرزب دیقم لدم ياهدنامسپ تاروذجم عومجم :هیضق.تسا دیق نودب لدم تاروذجم عومجم ای RSS RSS R û'û :میناد یم و RSS R RSS R R R r R r R R R r x x R r R R R r x R R R R r R R R R R R R R r R R R R R r R R R x x x x x R r R x x R r R R R R r R R R R r R R R B B R r R R R ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ][ ] [ ] [ ] ]} [ ] [ { ]} [ ] [ { [ ] [ ] [ - F نومزآ زا هدافتسا یطخ نویسرگر لدم ياهدیق یسررب يارب لدم دش هتفگ هکنانچ مه U دیق دوجو اب ار R r رفص هیضرف میریگیم رظن رد تسترابع :زا r R H : ادتبا R لیکشت ار زا رادرب نیا ردقچ ره.میهدیم r رتشیب هیضرف نیا هرابرد ار ام کش دریگب هلصاف يا هنومن عیزوت هب زاین اذل.دنکیم :میراد R R R R ] E[R Vc R R ER اب لدم للاخا هلمج يارب لامرن عیزوت ضرف لامرن هناگدنچ عیزوت ياراد.تسا :اذل

51 فصل ششم:روش تخمین حداقل مربعات معمولی مقیدRLS 4 R NR, R R یا: R N, R R R R اگر فرضیه r پس: صحیح باشد می توانیم را در رابطه فوق با r جایگزین کنیم. R r N, R R میدانیم چنانچه بردار تصادفی.n Z باشد. داراي توزیع داراي توزیع نرمال با میانگین صفر و ماتریس واریانس R r'[ R R ] R r U U k 3 با درجه آزادي n میباشد. G R Z Z کوواریانس در نتیجه : G درجه آزادي است و تعداد سطرهاي میباشد. مشکل در اینجاست که و مستقل از معلوم نیست ولی قبال نشان داده شده است 4 توزیع شده است و در نتیجه مستقل از R هم میباشد. که: P E P مثبت معین است لذا P Var E[ P n ZP E Z ' P U N, I P ZZ P Z Z N,. اثبات : چونZ ها از یکدیگر مستقل نیستند لذا می باید آنها را تبدیل به متغیر جدیدي نمود. چون ] P P I P Z n U U U M U; M I U MU k I Q.E.D بطوریکه P ماتریس غیر منفرد است. را تعریف می کنیم بطوریکه: pp P Z ها داراي توزیع استاندارد نرمال میباشند و داریم:.4 -K درجه آزادی است و برابر با رتبه و اثر ماتریس M می باشد.

52 فصل ششم:روش تخمین حداقل مربعات معمولی مقیدRLS ^ R r [R R ] ÛÛ / - K ^ لذا می توانیم توزیع F را بصورت زیر بسازیم و نیز حذف میشود: R r / G اگر F محاسبه شده بیشتر از F جدول باشد در سطح معین از احتمال در آنصورت H رد میشود. چنانچه F جدول کوچکتر باشد وجود قید را در داخل نمونه خواهیم پذیرفت. مالحظه میشود که صورت توزیع F عبارت است از تفاضل مجموع مجذورات جمالت خطا در رگرسیون مقید و غیرمقید لذا می توانیم آنرا بصورت زیر بنویسیم: RSS R RSS RSS / K / G [ RR RU ]/ G RU / K RU RR / G RU / K اما چنانچه صورت و مخرج را بر SS تقسیم کنیم داریم: لذا نحوه محاسبه F به مقتضاي اطالعات و داده هاي مدل تغییر مینماید. 8- آزمون وجود رابطه بین متغیرهاي توضیحی و وابسته چنانچه مدل رگرسیون خطی داراي عرض از مبدا باشد معموال آزمون وجود رابطه بین و متغیرهاي مستقل انجام میگردد. بطوریکه: H : 3 k ; عرض از مبدا تحت شرایط RSS R H SS RSS SS RSS R RSS / K SS SS / K RSS / K SS S / K S S / K صورت و مخرج را بر S تقسیم میکنیم.

53 فصل ششم:روش تخمین حداقل مربعات معمولی مقیدRLS 8 S /S / K sŷŷ / K S R R K. F K, k k داریم: مزبور را که معموال درگزارشهاي رایانهاي مشاهده میکنیم متغیرهاي توضیحی و متغیر وابسته میدانند. نشانگر وجود رابطه بطور کلی بین F - آزمون برابري دو مدل رگرسیون در دو وضعیت خاص اقتصادي مانند جنگ و صلح فرض کنیم بگیریم: مربوط به دوران جنگ و مربوط به دوران صلح باشد آنگاه دو مدل زیر را در نظر H : جنگ صلح, : K, : K تحت شرایط H مدل مقید داریم: از انجام رگرسیون فوق RSS R بدست میآید. تحت شرایط فرضیه مقابل مدل غیر مقید داریم: [ RSS R RSS RSS K a F ]/ Fk, k [ RSS RSS]/ K H رد میشود. از انجام رگرسیون مزبور RSS U بدست می آید. چنانچه F محاسبه شده فوق بزرگتر از F جدول در سطح احتمال معین باشد فرضیه یعنی یکسان بودن ضرایب مدل در دو وضعیت اقتصادي رد میشود و چنانچه کوچکتر از F جدول در سطح احتمال معین باشد یکسان بودن ضرایب پذیرفته میشود.

54 فصل ششم:روش تخمین حداقل مربعات معمولی مقیدRLS a مثال: حال با اطالعات داده شده میخواهیم شرط همگن بودن از درجه اول را در تابع. H ابتدا a را که در ابتداي بحث اشاره شد را آزمون کنیم. میخواهیم فرضیه Q AK L e قید را در مدل اعمال نموده و آنرا بصورت مقید تخمین می زنیم. تعداد مشاهدات = می باشد. G K Ln Q LnA LnK LnL LnA LnK LnL LnK Ln Q / K LnA Ln L / K Ln Q LnA LnK LnL RSS RSS R. RSS R RSS F RSS / 7 /. / 5.4 / 7 با مراجعه به جدول در سطح %5 = 4/5> 5/4 فرضیه همگن بودن از درجه اول براي تابع فوق رد می شود. ولی چنانچه% و درجه آزادي 8 مالحظه میکنیم = 4/5 F است لذا چون باشد = 8/7 F و لذا بازدهی ثابت نسبت به مقیاس رد نمی شود. 5- آزمون تغییرات ساختاري 96 es Chow در تصریح یک مدل فرض می کنیم که فروض ما در تمام نمونه صادق است. ولی منطقی به نظر میرسد که فرض کنیم در زیر مجموعهاي از مشاهدات ما فروض تغییر نماید و یا داراي ضرایب متفاوتی باشیم. مثال در بازار بنزین براي کشورهاي غربی مجموعه دادههاي آماري نشان میدهد که رفتار بازار قبل و بعد از شوك نفتی 973 تفاوت قابل مالحظهاي نموده است. جهش قیمت درسال 8 و 7 کامال هویداست و همچنین تغییرات زیادي در مصرف مشاهده میشود. مدل زیر را در نظر بگیریم: Log G/ POP log 3 logpg 4 logpnc 5 logpuc 6 :G میزان بنزین مصرفی :POP جمعیت : درآمد سرانه G قیمت : PG

55 فصل ششم:روش تخمین حداقل مربعات معمولی مقیدRLS 5 : PNC قیمت اتومبیل جدید PUC : قیمت اتومبیل دست دوم با استفاده از دادههاي آماري کل نمونه 5- و براي دو دوره -8 و 5-84 سه رگرسیون انجام دادهایم که نتایج آن در جداول شماره - - آمده است. جدول 4 جدول

56 فصل ششم:روش تخمین حداقل مربعات معمولی مقیدRLS

57 فصل ششم:روش تخمین حداقل مربعات معمولی مقیدRLS جدول 8 نسبت F براي آزمون برابري ضرایب در دو دوره مزبور بصورت زیر است. در مدل مقید ضرایب را یکسان فرض می کنیم. F[6, 4] [ ]/ / مقدار بحرانی از جدول F برابر با /5 است. و لذا فرضیه برابري ضرایب در این دوره رد میشود عرض از مبداهاي مختلف: ممکن است محققی بگوید پس از شوك 8 کشورهاي غربی مصرف بنزین را باندازه سهم ثابتی کاهش داده اند اما سایر روابط در بازار مانند کشش درآمدي بدون تغییر باقی مانده است. این اتفاق مدل لگاریتمی را در مقدار ثابت کاهش می دهد. لذا مدل بدون قید مانند مدل قبلی اما با ضرایب متفاوت در دو دوره می باشد در صورتیکه مدل مقید یا Pooled در اینجا با عرض از مبدا متفاوت است. ماتریس رگرسورها بصورت زیر خواهد بود. o W o 73 مدل غير o W 73 مقيد R o o W 73 W 73 مقيد مدل

58 فصل ششم:روش تخمین حداقل مربعات معمولی مقیدRLS 3 دو ستون اول متغیرهاي مجازي هستند. لذا سه رگرسیون انجام میشود که نتایج آنها در جداول 5-4- آمده است. جدول جدول 5

59 فصل ششم:روش تخمین حداقل مربعات معمولی مقیدRLS 9 جدول بر اساس مقادیر مجموع مجذورات پسماندهاي سه رگرسیون باال F محاسبه شده بصورت زیر خواهد / 5 F[5,4] /4 بود: مقدار بحرانی F از جدول برابر با / است لذا این فرضیه نیز رد میشود. دادههاي آماري میگوید که براي دو دوره مختلف بطور سیستماتیک ضرایب متفاوتند و فقط تغییر در مقدار ثابت نیست. -- تغییردر برخی از ضرایب: نتایج جدول قبل نشان میدهد که عرض از مبداء کشش قیمتی و درآمدي بیش از کششهاي متقاطع و ضریب روند زمان تغییر کردهاند. آزمونChow براي این موارد از محدودیت تقریبا شبیه مورد تغییر در عرض از مبداهاست. فرض کنیم ماتریس Z متغیرهاي قیمت بنزین و درآمد را نشان دهد که ممکن است تغییر کرده باشند و ماتریس W قیمت اتومبیل و روند زمان باشد که اعتقاد بر این است ضرایب آنها ثابت باقی مانده است. لذا ماتریس رگرسیون مقید بصورت زیر است: o pre Z pre o o pos Z o pos W W pre pre

60 فصل ششم:روش تخمین حداقل مربعات معمولی مقیدRLS 5 مانند قبل بردار ضرایب در مدل غیر مقید از ترکیب دو مدل جدا از هم به دست می آید نسبت F براي آزمون فوق عبارتست از: / 89 / 657 / 4666 / 3 F [ 3 / 4] 4/ 86 / 657 / 4666 / 4 مقدار بحرانی از جدول F برابر با / است لذا این فرضیه نیز رد میشود. مالحظه میشود F در این مدل خیلی کوچکتر از دو F قبلی است. می توانیم بگوئیم دلیل این امر آنست که تفاوت در مدلها در دو دوره مختلف توسط تغییرات در مقدار ثابت قیمت و درآمد قابل توضیح است.

61 فصل هفتم

62 فصل هفتم 4- مدل رگرسیون خطی تعمیم یافته E I E و غیرتصادفی rank K در مدلهاي قبلی داشتیم: مواردي وجود دارد که ماتریس واریانس - کوواریانس جمله اخالل بصورت فوق نیست: مثال : در دادههاي مقطعی 5 C a b وقتی باال میرود واریانس نیز افزایش مییابد لذا ثابت نیست. که به آن واریانس ناهمسانی 6 میگویند. چون میزان پراکندگی مصرف خانوادههاي پردرآمد نسبت به میانگین مصرف بیشتر از میزان پراکندگی مصرف خانوادههاي کمدرآمد نسبت به میانگین مصرف جامعه است. 5. Cross-Secon Daa 6. Heeroscedass

63 58 لصف :متفه هتفای میمعت تاعبرم لقادح نیمخت شور :اذل E E 7 یگتسبمهدوخ لاثم ینامز ياههداد رد یپایپ یگتسبمه ای b a C s E E E s,, 3 3 E تروصب للاخا هلمج سنایراووک-سنایراو سیرتام هک میوش هجاوم ییاهلدم اب تسا نکمم یلکروطب اذل :دشاب ریز E هکیروطب و.دشاب لوهجم ای مولعم دناوتیم و دشابیم نیعم تبثم سیرتام کی P P P P P مینک ضرف.تسا درفنمریغ - 8 هتفایمیمعت تاعبرم لقادح شور GLS P سیرتام زا هدافتسا اب ار یلصا لدم :مینکیم لیدبت P P P 7 Aorgressve 8. Generalzed Leas Sqare

64 5 لصف :متفه هتفای میمعت تاعبرم لقادح نیمخت شور :مینکیم یسررب هدش هتفای لیدبت لدم رد ار کیسلاک ضورف یفداصتریغ نوچ P.تسا درفنمریغ K rank P rank rank I P P PP P P P P P PE P P E E PE P E E 4 3 هدننزنیمخت اذل GLS فیرعت ریز تروصب ناوتیم تسا مولعم سنایراووک سنایراو سیرتام هکینامز ار :دومن P P P P :میریگب رظن رد یعطقم ياههداد رد ار فرصم لدم :لاثم N E E b a C,,, P P, E N N N P P PC P b a

65 55 لصف :متفه هتفای میمعت تاعبرم لقادح نیمخت شور N N N P b a P C C C P و : ای b C E b a C هیضق GLS.تسا شروت نودب هدننزنیمخت کی E E E E سنایراووک-سنایراو سیرتام :زا تسترابع E E Vc E نوچ E :سپ تسا Vc

66 فصل هفتم: روش تخمین حداقل مربعات تعمیم یافته 5 تخمینزنندهاي خطی بدون تورش با کمترین واریانس است. فرض نتیجه, GLS 9 8- تئوري ایتکنز این قضیه بیان میکند که کنیم فروض تا برقرار است و همچنین فرض کنیم دو تخمینزننده نشان خواهیم داد که یک تخمینزننده BLUE میباشد. براي وجود دارد. C D در نظر بگیریم بطوریکه اثبات: اگر C گرفته میشود. بدون تورش بودن E E D DE D I D D Vc E Vc E D D باشد D اگر بدون تورش است. D D D, D D D Vc E D D E E D ED E Vc DD DD E D D D جمله دوم رابطه برابر است با: D چون Vc Vc DD بهمین ترتیب براي جمله سوم نشان میدهیم که برابر صفر است. لذا Vc Vc 9.Aken's-heorem

67 فصل هفتم: روش تخمین حداقل مربعات تعمیم یافته 5 پس Vcمیباشند. Vc بزرگتر از عناصر متناظر بر روي قطر ماتریس همه عناصر روي قطر داراي کمترین واریانس است و قضیه ثابت میگردد.

68 فصل هشتم

69 فصل هشتم مدل رگرسیونی ظاهرا نامرتبط فرض کنید دو معادله رگرسیون خطی داریم: E x x.. E.. K..j j E E,...,M for Vc I k.,, I. E I E I,...,M E ولی فروض زير را در نظر بگيريم: براي مثال: 3 - Seemngl Unrelaed Regresson SUR.

70 فصل هشتم: مدل رگرسیونهاي به ظاهر بدون ارتباط با یکدیگر E E vrank j sj j k j I اگر = s باشد داریم: اگر s باشد داریم: هر دو معادله داراي یک ماتریس واریانس کوواریانس بصورت مدل را بصورت ماتریسی مینویسیم: است تصادفی نیستند M k,... M M.,.. M, M M. k E.. EE OLS I j, OLS M I I I M. I I I M M MM I I I OLS, OLS M M M. M.M شرایط و نتایج معادالت انفرادي براي همه معادالت نیز برقرار است در اینجا OLS کارآ نیست و بهترین GLS I I j j,, j GLS,...,M I I نخواهد بود GLS از کارآیی باالتري برخوردار است وقتی معلوم است GLS

71 4 لصف :متشه رگیدکی اب طابترا نودب رهاظ هب ياهنویسرگر لدم.j M Mj M j.j j M j M M MM M M M M GLS GLS I Vc :هیضق هک دراد دوجو تلاح ود OLS GLS تسا رگا فلا j هاگنآ j ب... تابثا 3نامزمه یگتسبمه ناکما و دنرادن طابترا رگیدکی اب فلتخم تلاداعم للاخا تلامج یتقو فلا ار :داد میهاوخن تسد زا ار يزیچ مینزب نیمخت ار لدم و میریگب هدیدان M M MM j j M MM j.... و GLS.M M MM. M M MM '... I. نوچ OLS.M M M M. GLS 3 - Conemporaneosl Correlaon.

72 فصل هشتم: مدل رگرسیونهاي به ظاهر بدون ارتباط با یکدیگر I M I I GLS... ب چنانچه I M GLS I M I I M I M I GLS IM I M..M OLS را بکار برد در آنصورت با Feasble GLS مواجه خواهیم شد I I I FFLS اگر معلوم نباشد باید که تخمینزننده سازگاري از خواهد بود

73

74 فصل نهم 4-9 تخمین به روش حداکثر نمودن تابع درستنمایی روش تخمین حداکثر نمودن تابع درستنمایی روشی است که در مسایل گوناگونی کاربرد دارد ولی در مدل رگرسیون خطی چنانچه توزیع جمله اخالل نرمال باشد تخمینزنندههایی مشابه روش حداقل مربعات معمولی بدست میآوریم مدل زیر را در نظر بگیریم: بطوریکه: چون x IN, بصورت نرمال و مستقل با داراي توزیع نرمال است و بطور مستقل توزیع شده است لذا میانگین x و واریانس مشاهدات بصورت زیر است: توزیع شده است تابع توزیع مشترك ها راستنمایی برروي کل n f,..., n exp نامیده,, در نظر گرفته شود تابع درستنمایی 3 این تابع وقتی بصورت تابعی از پارامترهاي میشود و بصورت L,, نشان داده میشود روش تخمین حداکثر درستنمایی میکند که مقادیر پارامترها را طوري انتخاب کنیم که تابع درستنمایی را حداکثر مینماید پیشنهاد ML 3 - Lkelhood Fncon.

75 فصل نهم: روش تخمین تابع حداکثر درست نمایی 5 براي سادگی از تابع درستنمایی لگاریتم میگیریم و چون تبدیل خطی است نتایج بهدست آمده نقاط Log L n c n Log Log Q مشابهی را بدست میدهد براي مدل رگرسیون خطی داریم: n c Log میباشد Q بطوریکه مقدار ثابتی است و با پارامترها درگیر نمیباشد از طرفی و تابع Log L را ابتدا نسبت به جمله سوم تابع فوق درگیر پارامتر و سپس نسبت به حداکثر میکنیم توجه داریم که فقط میباشد لذا حداکثر نمودن این تابع مانند مینیمم نمودن Q میباشد چون این جمله داراي عالمت منفی است در نتیجه تخمینزنندههاي ML براي و عینا برابر و برآورد کنندههاي و چنانچه میآید OLS به روش حداقل مربعات معمولی و و حال داریم: بطوریکه را در تابع درستنمایی فوق با جایگزین کنیم تابع ما فقط تبعیت میکند n Q LogL Cons an Log چیزي جزمجموع مجذورات پسماندها نیست Q x چنانچه ازآن نسبت به مشتق گرفته وآنرا برابر صفر قرار دهیم داریم: n Q 4 Q n RSS n از رابطه فوق برآورده کننده ML براي بصورت زیرخواهد بود RSS توجه کنیم این تخمین زننده با تخمینزننده OLS بدون تورش براي که بصورت بود n تفاوت دارد چنانچه n افزایش یابد این دو روش به هم نزدیک خواهندشد ML یک روش تخمین ^ درنمونههاي بزر است Q چنانچه در رابطه LogL را قرار دهیم مقدار حداکثر تابع لگاریتم درست نمایی بصورت n زیر بدست خواهد آمد: n Q n Max LogL c Log n n n c LogQ Log n n

76 فصل نهم: روش تخمین تابع حداکثر درست نمایی این رابطه براي بدست آوردن آزمون نمودن و و چون ما حجم نمونه یعنی n را تغییر نمیدهیم صرفا مینویسیم: با استفاده از روش ML مفید خواهد بود n Max LogL Cons an Log Q n n Cons an RSS Max L Cons an. Q حال چنانچه در نظر داشته باشیم مدل رگرسیون چند متغیره را به روش حداکثر درستنمایی بدست U U N, f N, f I e I exp x آوریم بصورت زیر عمل میکنیم. بطوریکه: چون: از طرفی بردار نیز بصورت زیر توزیع شده است: و قانون توزیع که بصورت..d توزیع شدهاند عبارتست از: تابع درستنمایی عبارتست از : 33 L;x, f,,..., f n ;x, exp x L Log L Log Log x x L x x L ML 4 ÛÛ M xx x x x 33 - f N, hen f,... n e

77 فصل نهم: روش تخمین تابع حداکثر درست نمایی ML OLS K در این روش تخمین پارامترها بنحوي انتخاب میشوند که احتمال بدست آمدن نمونه را ماکزیمم میکنند. و ML OLS فرم درجه دوم و تابعی از متغیر تصادفی با میانگین زیر است: E E[û û] [M] K ML. K ML OLS. K -9 مقایسه واریانس تخمین ML براي و لذا داراي تورش است که تورش آن برابر است با K اگر چنانچه آن را ضرب که تخمین زننده بدون تورش خواهد بود. تعدیل کنیم خواهیم داشت: و با درجه آزادي -K توزیع شده است. با را بدست آوریم. ML E OLS E K K Var E OLS ML Var E OLS E K OLS 4 K از طرفی K یک فرم درجه دوم است که بصورت استفاده از قوانین توزیع فوق میتوانیم امید ریاضی و واریانس K Var K 4 / ML K بهمین ترتیب میانگین و واریانس را بدست میآوریم: 4 4 ML E ML Var K K ML E K ML پس واریانس داراي تورش باندازه و داراي واریانسی است که در نمونههاي کوچک کوچکتر از OLS است. لذا محقق میتواند بین تورش و کوچکی واریانس انتخاب کند., تخمینزننده ماتریس اطالعات ماتریس اطالعات عبارتست از منهاي امید ریاضی مشتق دوم تابع درستنمایی. یعنی اگر Log L; Log N f x ; باشد و لگاریتم تابع درستنمایی ML 34 - Informaon Marx.

78 فصل نهم: روش تخمین تابع حداکثر درست نمایی 3 آنگاه: I E Log L x ; بطوریکه x ; 35 نسبت به مشتقات درجه اولش منظم باشد. 36 حد پایین رائو و کرامر به معکوس ماتریس اطالعات حد پایین رائو- کرامر گفته میشود. فرض کنید با ماتریس واریانس کوواریانس باشد. آنگاه ماتریس: هر تخمینزننده بدون تورش I P. S. D لذا اگر تخمینزنندهاي داراي ماتریس واریانس- I کوواریانس تخمینزنندهاي کارآ باشد ولی حد پایین R.C را تامین نکند. باشد کارآ است. ممکن است حال چنانچه بخواهیم ماتریس اطالعات و حد پایین رائو- کرامر را براي مدل رگرسیون خطی مورد نظر بدست آوریم ابتدا باید از شرایط اولیه ماکزیمم نمودن تابع درستنمایی مجددا نسبت به بردار و بگیریم. مشتق L L L 4 4 L E L E E L 6 L براي تشکیل ماتریس اطالعات الزمست از روابط تا منهاي امید ریاضی بگیریم: 4 و ماتریس اطالعات عبارتست از: 36 - Rao- Cramer Lower Bond. 5- تابع منظم آنست كه نسبت به مشتقات درجه اولش داراي اميد صفر باشد یعني: Log Lx; E,..., N

79 فصل نهم: روش تخمین تابع حداکثر درست نمایی 9 I, حد پایین رائو کرامر I, یعنی عبارتست از: I 4, لذا تخمینزنندههاي OLS براي ضریب داراي حداقل واریانس میباشند و حد پایین رائو- کرامر را تامین Var 4 ML Var 4 K K OLS مینمایند ولی همچنان که گفته شد: هر چند واریانس OLS حد پایین رائو-کرامر را تامین نمیکند ولی تخمینزننده بدون تورشی براي e f x, x! f x x,x,...,x ; Lx; Lx; N f x ; N x e x! باشد وجودندارد. که داراي توزیع پوآسون میباشد را در نظر بگیرید:,...,N L Log L x; N Log Log dl N d ML ML x N d L d ML x 4 که کمتر از K مثال: متغیر تصادفی چنانچه..d x باشد تخمین ML براي را بدست آورید. x! حل: تابع توزیع مشترك چنانچه از تابع فوق نسبت به پس تابع داراي ماکزیمم است مشتق بگیریم داریم:

80 فصل نهم: روش تخمین تابع حداکثر درست نمایی حال اگر متغیر x مقادیر 4 و 5 را انتخاب کند حل بعهده خودتان را بدست آورید -9 استفاده از آزمونهاي LM, LR, WALD چنانچه قصد داشته باشیم وجود رابطه خطی R r را درون مدل رگرسیون خطی: U بررسی کنیم میتوانیم از آزمون F که به آزمون WALD نیز معروف است و یا با استفاده از روش تابع درستنمایی و آزمون Lkelhood Rao و یا از آزمون Lagrange Mlpler استفاده نماییم فرض کنیم جمله اخالل داراي توزیع نرمال بصورت زیر باشد: چنانچه رابطه U N, I N, R r R NR, R R صحیح باشد یعنی تحت شرایط خواهیم داشت R معموال در H O R R R r r' G G تعداد قیدهاي موجود براي آزمون و درجه آزادي چی دو خواهد شد میدانیم که G. از FG, میل میکند که دسترس نیست ولذا بجاي استفاده میکنیم که توزیع فوق به سمتK معروف بهWALD تست است و قبال هم بطور مفصل به آن پرداخته شد ساختن آزمون فوق تحت هرعنوان با استفاده از روش تخمین OLS یاRLS میباشد هم چنین میتوانیم با استفاده از تابع حداکثر راست نمایی آماره Lkelhood Rao L c میل مینماید G به سمت که تشکیل دهیم Log L تخمین مقید پارامترها به روش تابع درستنمایی و c درستنمایی است ابتدا اشاره به MLE مقید مینماییم: دارد تخمین غیرمقید پارامتر را بصورت به روش تابع فرض کنیم بطور کلی تابع درستنمایی متغیرتصادفی را که داراي پارامتر میباشد را داشته باشیم: h تابعی خطی یا غیرخطی از پارامتر H L; h داخل دادههاي آماري وجود میباشد که تحت شرایط H h بردار G عنصري است که عناصرش توابعی قابل مشتقگیري باشند مثال در مثال بطوریکه میباشد h مدل رگرسیون چند متغیره R r مدل الگرانژ بکار میرود شرایط اولیه براي به حداکثر رساندن H عبارتست از: عبارتست از Shadow Prce h هر قیدي که در H L; c c

81 4 لصف :مهن ییامن تسرد رثکادح عبات نیمخت شور h H c :میراد لوا هطبار زا ; c c h L LM نومزآ نیاربانب نومزآ ساسارب Rao s Score 948 :دشابیم ریز تروصهب c c c L; L E L; طیارش تحت هک H یبناجم عیزوت ياراد G يدازآ هجرد اب دشابیم دیق يارب R r :میراد ; R R L H c ; 4 4 c c c c N L H 3 r R H c نیمخت :زا تسترابع ییامن تسرد عبات شور هب Û Û c c رد ار هطبار رگا R يارب ار نآ و مینک برض شیپ :میراد مینک لح c C L; R R R ^ ^ c C R R R :نوچ R r R R R c :میراد مینک هداس و میهدرارق نآ ياجب رگا :زا تسترابع ژنارگلا بیرض رادقم r R R R C

82 فصل نهم: روش تخمین تابع حداکثر درست نمایی.P c LM N, C R r R میل میکند n R H R اگر r بنابراین بعد ازجایگزینی باشد شرایط بجاي آنگاه وقتی فرم درجه دوم زیر: R R R r G c آزمون ضریب الگرانژ است

83

84 فصل دهم واریانس ناهمسانی شرایطی وجود دارد که واریانس جمله اخالل در مدلهاي خطی ثابت نمیباشد. براي مثال در تحلیلهاي اقتصادي که از دادههاي مقطع زمانی استفاده میشود واحدهاي مورد مطالعه عموما خانوارها بنگاهها و افراد میباشند و میزانی که مدل خطی میتواند رفتار این واحدها را توضیح دهد بستگی به وضعیت و موقعیت خاصی دارد مثال 4: فرض کنید براي سال معینی در صنعت مشخص سودبنگاهها به میزان مخارج تبلیغات و میزان هزینهاي که در تحقیقات آنها انجام میگردد بستگی دارد A 3 R,...,n سود بنگاه ام A R مخارج تبلیغاتی بنگاه ام مخارج تحقیقات بنگاه ام هر چند منطقی بنظر میرسد که میانگین تعداد بنگاهها = n صفر باشد ولی اندازه واریانس جمله اخالل به بزرگی و کوچکی مقیاس بنگاه مربوط میشود که به میزان مخارجی که بنگاهها در بخش تحقیقات بنگاهشان هزینه میکنند بستگی دارد. بدین صورت که تغییرات واریانس جمله اخالل براي بنگاههاي بزر بیشتر از تغییرات 37 - Seemngl Unrelaed Regresson SUR.

85 فصل دهم: واریانس ناهمسانی 5 واریانس براي بنگاههاي کوچک است. چون هزینه نمودن در زمینه تبلیغات و تحقیقات براي موسسات کوچک توام با ریسک و خطر است. لذا ما انتظار داریم که تغییرات اطراف میانگین سود بنگاهها براي موسسات بزر بیشتر از تغییرات مشابه براي بنگاههاي کوچک باشد. به شکل توجه کنید. =a + a3 R + R براي میزان معینی مخارج تبلیغات انتظار داریم که واریانس Ln PR به R 4 مربوط شود. در اینجا ما میخواهیم اطالعات مربوط به بنگاه بزر را وزن کمتري از بنگاههاي کوچک بدهیم چون رابطه خطی براي بنگاههاي کوچک بطور دقیقتري برقرار است. مثال : مینسرMncer نشان داد که قدرت درآمد افراد تابعی از سالهاي تحصیل S و تجریه PR در یک شغل است. یک ساعت درآمد فرد ام Ln j PR PR 3 S e تجریه فرد ام سالهاي تحصیلی- سن سالهاي تحصیلی فرد ام S سایر متغیرها مانند نژاد جنس عصبانی PR در اینجا مالحظه میشود که واریانس جمله اخالل تقریبا بصورت فرم درجه دوم تابعی از تجربه است. e e a bpr cpr PR دالیلی وجود دارد که چرا واریانس جمالت اخالل در پایان دوران خدمت بیشتر است.

86 فصل دهم: واریانس ناهمسانی - در مرحله شروع کار حقوق پایین و تحرك باال در مقابل حقوق باال و تحرك نسبتا پایین در سالهاي پایانی. - مختلف بودن طرحهاي بازنشستگی مثال 8: خانوارها نیز مانند بنگاهها اندازههاي مختلف دارند بطوریکه اندازه خانوار میتواند توسط درآمد یا تعداد اعضاي خانواده اندازهگیري شود. فرض کنیم مخارج خانوار توسط مدل زیر توضیح داده شود: E b b b3n e مخارج خانوار کل درآمد قابل تصرف تعداد اعضاي خانوار E N چون درآمد باال موجب احتیاط بیشتر خانوارها نسبت به مصرف و پسانداز آنهاست: انتظار داریم که وقتی درآمد خانوار باالست پراکندگی تغییرات مخارج نیز بیشتر باشد. یک خانوار نسبتا ثروتمند دنبال داشتن منزل بزرگتر با استخر شنا میباشد و سعی دارد تعطیالت آخر هفته را به ساحل دریا برود. اگر دیاگرام پراکندگی مشاهدات یک نمونه را براي بصورت شکل زیر خواهد شد. E و ترسیم کنیم احتماال E Prase- Hohako در مطالعاتشان در سال 55 در مورد بررسی بودجه خانوار به چنین نتایجی رسیدند مثال : در استفاده از دادههاي آماري غالبا با متوسط دادهها مواجه میشویم در یک تابع تولید خطی مقدار محصول بدست آمده در هکتار ام توسط مزرعه ام : مقدار نیروي کار که توسط مزرعه ام در هکتار ام بکار میرود : مقدار نیروي سرمایه که توسط مزرعه ام در هکتار ام بکار میرود E, E در دست است...d فرض کنید دادههاي آماري ما بصورت و

87 فصل دهم: واریانس ناهمسانی N N N N N N N تعداد هکتار زمین متعلق به مزرعه ام E U N ها از هم مستقلند ولی براي همه مزرعهها برابر نیستند و مدل دچار واریانس ناهمسانی است. Var N E V... EV k N 38 مدل ضرایب تصادفی k چون ضرایب تصافی هستند نیازي به جمله اخالل نیست. فرض کنیم: مثال 5: E V V V... k V k k k k V U E غیرتصادفی و چون Var V فرض کنیم V ها مستقل از هم باشند و ثابت و بستگی به ندارد EV 38 - Random Coeffcen Model.

88 فصل دهم: واریانس ناهمسانی 3 E k E E s V. s V js E K j K j j V V jev Vjs js خالصه آنکه دالیل زیادي وجود دارد که واریانس جمله هاي اخالل روي مشاهدات مختلف نبایستی ضرورتا یکی باشند هر چند روش OLS بدون تورش خواهد بود ولی کارآ نیست 39 بجاي درنظر گرفتن تابع زیان باید را در نظر گرفت بجاي آنکه اجازه دهیم هر جمله اخالل داراي وزن برابري در رگرسیون باشد باید وزن آنها را نسبت به تغییراتشان بطور معکوس درنظر بگیریم هر چقدر مورد استفاده قرار گیرد تغییراتش بیشتر باشد مشاهدات متناسب با کمتري روي e و در تعیین معادله مدل باید g G 4-4 واریانس ناهمسانی گروهی در خیلی از موارد امکان این وجود دارد که در داخل گروهی از مشاهدات واریانس جمله اخالل ثابت است ولی بین گروهها واریانس متفاوت باشند مثال در بحث هزینه خانوارها ممکن است درآمدهاي - -4 و 5 به باال بطوریکه در داخل هر طبقه درآمدي واریانس جمله اخالل ثابت باشد ولی بین گروهها ثابت نباشد فرض کنیم تعداد مشاهدات باشد و G گروه مشاهده داشته باشیم بهنحوي که باشد k,... مدل رگرسیون خطی بصورت زیر خواهد شد: g G g G g G 39 -Loss Fncon. 4 - Groped Heeroskedasc.

89 فصل دهم: واریانس ناهمسانی 9 g, g, که g به ترتیب عبارتند از: مشاهدات روي متغیر وابسته متغیر مستقل و جمله اخالل در,,..., G,,...,,,..., E G G گروه g توجه کنیم که بردار براي همه گروهها مشابه هم است E E G G I G G g I g G I G واریانس جمله اخالل در داخل گروهg است اگر مشکل این باشد GLS متناظر با مدل خواهیم g داشت I P I G G P P P e Ee e I g بکاربردن OLS در مدل فوق معادل GLS در مدل اصلی است. تخمینزننده سازگار و بدون تورش خطی و کارآ است ولی غالبا تخمین OLS گروه g ام باشد. معلوم نیست. لذا اگر g g g g g g g K g g g g g g I P I G G آنگاه:

90 فصل دهم: واریانس ناهمسانی 3 P P P سپس P بین گروهها داریم یک Feasble GLS است براي زمانیکه واریانس ناهمسانی OLS:Var GLS : Var x 4 x K n x a K n n a a OLS GLS 4 n x n a a [xx] 8-4 تبعات واریانس ناهمسانی درروش OLS برروي تخمین زنندهها [x [x x] [xx] x] 4 x n x n n a a n a a چنانچه واریانس ناهمسانی بصورت زیر باشد: n x 4 x a a a x Var x Ex Plm K E x x نخواهد بود GLS هرگز تخمین زننده کارایی همانند OLS اگر x داراي میانگین صفر وگشتاور چهارم معینی باشد آنگاه: -4 انواع واریانس ناهمسانی واریانس ناهمسانی بصورت تابعی از متغیرهاي مستقل یا برونزا a bpr CPR الف در معادله لذا بطور کلی ممکن است یعنی واریانس تابعی خطی از متغیرهاي مستقل است میتواند مجموعهاي از متغیرهاي مستقل و برونزا باشد Z, PR,PR a,b,c در دادههاي مصرف جاري نشان دادند که واریانس تابعی از E x... k x k Z که باشد Z ب 955 Hohako Prase مجذور میانگین تابع رگرسیون است

91 فصل دهم: واریانس ناهمسانی 34 x x Z,...,x k k x k k x k k,..., یا: در اینجا انحراف معیار تابعی است از متغیرهاي برونزا پس: ج در تابع سود واریانس کامال مربوط به مخارج تحقیقات میشود این شکل ممکن است بصورت باشد در اینجا واریانس جمله اخالل بصورت فرم حاصلضربی در پارامتر است Z e Z,Ln R Ln, R پس فرم سوم: حال متناظر با هر یک از حاالت پیش آمده GLS مربوط را مورد استفاده قرار میدهیم - چنانچه وضعیت دادههاي آماري با حالت الف منطبق باشد را بصورت زیر تعریف میکنیم: D ^ Z D ^ ماتریس قطري است که روي قطر آن Z Z قرار گرفته است اما مشکل اینجاست که در غالب û راتخمین بزنیم: Z v اوقات ها معلوم نیستند و باید تخمینزده شوند یک روش آنست که با استفاده از û û v Ev و داراي مشکل واریانس ناهمسانی وهمبستگی OLS D نشان داده خواهد شدکه پیاپی هم خواهیم شد درنتیجه تورش خواهد داشت یک تخمین زننده سازگار است ولذا میتوان بهGLS Feasble رابصورت زیر پیشنهاد دادند: اما اگر حجم مشاهدات باندازه کافی بزر ZZ دست یافت Z ê ZZ Zê تخمین Goldfeld- Qand97 باشد Feasble GLS: D D Z Z این تخمین زننده سازگار وبطور مجانبی داراي توزیع نرمال است واگر کارآ هم خواهدبود داراي توزیع نرمال باشد بطور مجانبی 977 Amema پیشنهاد نمود: را با روشOLS تخمین بزنید الف- را تشکیل دهید بنحوي که یک ماتریس قطري باشد که عناصر روي قطر عبارت باشداز: ب-

92 فصل دهم: واریانس ناهمسانی 3 4 Z Z Z Z Z Z Z û Z Z û EV 4 چون: ج- Z این تخمینزننده داراي ماتریس واریانس کواریانس میکند لذا وقتی واریانس ناهمسانی بصورت باشد: R.C است که حد پایین Z را تامین D D Z Z Z Z است Feasble_GLS - انحراف ازمعیار تابعی خطی ازمتغیرهاي برونزا است e E,E Z,E j j N, D D Z Z ماتریسی قطري است که عناصر روي قطرش عبارتست از: Z FGLS D مالحظه میشود که بحث تخمین بدست خواهد آمد فرض کنید مدل قبلی قابل اجراست با این تفاوت که تخمین دیگري ها بطور مستقل ویکنواخت با میانگین و واریانس توزیع شده باشند E f d c,,..., براي میانگین قدر مطلق این متغیر استاندارد نرمال یعنی: عبارتست از:

93 فصل دهم: واریانس ناهمسانی 38 / N, c f عبارت است ازتابع احتمال چگالی وc ثابت است f فرض شده که بطور مثال اگر نسبت به صفر متقارن است E c cz بنابراین: cz v Glesjer969 پیشنهاد کردC را بکار ببریم و تخمین آن خواهد شد: ^ C Z Z Z Z Z Z Z C Z C FGLS ^ ^ C^ میشود توجه کنیم که در نمونههاي کوچک یک تخمین زننده با تورش و غیرکارآ است چون نشان داده داراي میانگین صفر نیست و داراي واریانس ناهمسانی و هم بستگی پیاپی است روش جایگزین و c c c Z EV کاراتر FGLS است مراحل کار بصورت زیر است: الف- تخمین C رابدست میآوریم اگر c معلوم باشد V ب- را تشکیل میدهیم یک ماتریس واریانس کواریانس است که قطري است و اجزاي روي قطر آن عبارتست از واریانس که عبارت از: ^ ^ C Z Z Z Z c Z c ج- C FGLS را تشکیل میدهیم: خواهد شد در نهایت FGLS و نکته قابل توجه اینست که نیاز بهc داریم لذا محقق باید بتواند توزیع را مشخص کند هر دو سازگار هستند و داراي ماتریس واریانس کواریانسهاي V c ZZ Z ZZZ c c نشانداد که Harve 974 زیر: V ^ C Z Z عناصر روي cz

94 فصل دهم: واریانس ناهمسانی 3 اولین واریانس یک تخمین زننده OLS است دو می تخمین زننده GLS است اگر نرمال باشد دو می حد پائین R.C را تامین میکند پس اگر توزیع نرمال باشد هر دو داراي توزیع تخمین زننده بطور مجانبی کارآ هستند و در نمونههاي کوچکتر بهتر است دو می مورد استفاده قرار گیرد ^ ^ Z C Z Vc c Harve فرم کلیتري را براي واریانس ناهمسانی بررسی کرد و آن واریانس ناهمسانی به E Z e N صورت حاصلضربی است e Z. e Z Ln,,... e Z 3 یعنی: بطور مثال: Z, Lnx,Lnx x, x D ماتریس قطري باشد که عناصر روي قطر آن e Z تخمین زننده GLS خواهد شد 3 D3 [e D Ln Ln û Z ] 3 Z Z v Z Z اگر 3 D Z [e ] که میانگین آن و واریانس آن برابر است با: اما مجددا مشکل مجهول بودن مطرح است فرم فوق را بصورت زیر مینویسیم: ; v ZLn û û Ln exp Z exp Z

95 فصل دهم: واریانس ناهمسانی 35 این تخمین زننده سازگار بوده و بطور مجانبی نرمال توزیع شده و بطور مجانبی کارآ است آزمون تشخیص وجود واریانس ناهمسانی - آزمون براي تشخیص وجود واریانس ناهمسانی گروهی نسبت ماکزیمم الیکلی هود: H :... H :no all L Ln L میتوان ثابت نمود که بطور مجانبی q L L, ; H فرض کنیم نشان دهندهK+G متغیر ها بطور نرمال توزیع شده باشند و g هاست k ها k و است که تحت شرایط بدست میآیند... exp / L exp / K+G-G- نشانگر ^ L L,,,... G /... G G exp G g g g g g g L /... G G G exp g g g g g g S S I S I G G بطوریکه:

96 فصل دهم: واریانس ناهمسانی 3 g g g g g g g g g,,...,g که بعنوان مقادیر اولیه براي g بکار برده میشود g g g g g این روش تکرار میشود تا تفاوت بین آنها کم بشود L l L... G G Lnl... Ln Ln Ln Ln Ln Ln Ln... G Ln G G G G اگر بتوانیم بطور مجانبی به هستند با استفاده از ها دسترسی پیدا کنیم میتوانیم از در استفاده کنیم هایی که سازگارند ولی غیرکارآ آمارهاي که از این طریق محاسبه g g g g g g میشود داراي توزیع G میکنیم است ولی قدرتش در نمونههاي کوچک کمتر از زمانی است که از استفاده H آزمون گلدفلد - کوانت اگر فرضیه H و H را به صورت زیر تعریف کنیم: واریانس همسانی : واریانس ناهمسانی : H آنگاه براي تشخیص وجود واریانس همسانی: الف مشاهدات را طبق مقادیر Z مرتب میکنیم Z متغیري است که جمله اخالل بطور فزاینده با آن در ارتباط است ب P تا مشاهده را از مرکز انتخاب و حذف میکنیم P ج دو تا رگرسیون با تعداد K انجام میدهیم د RSS گروه کوچک و RSS گروه بزر را محاسبه میکنیم یعنی اگر با Z افزایش پیدا میکند RSS مجموع مجذورات جمالت پسماند مربوط به گروه مشاهداتی است که داراي مقادیر کوچک Z میباشد نسبت S به صورت زیر داراي توزیع F میباشد. RSS S RSS F P k P k, SF مدل دچار واریانس H تحت شرایط H ناهمسانی است که واریانس همسانی است رد میشود یعنی اگر 4 - Goldfeld - Qand.

97 فصل دهم: واریانس ناهمسانی 3 اگر در مدل واریانس ناهمسانی وجود داشته باشد F بزر میشود اگر F محاسبه شده کوچکتر از F جدول باشد آنوقت واریانس همسانی پذیرفته میشود در غیر اینصورت واریانس ناهمسانی پذیرفته میشود اشکاالت وارد به روش آزمون فوق - قدرت آزمون بستگی به عدد P دارد اگر P بزر باشد قدرت آزمون کاهش پیدا میکند چون تعداد مشاهدات در هر قسمت کاهش پیدا میکند ولی همزمان اگر P مرکزي باعث میشود که دو RSS خیلی از یکدیگر متفاوت نباشند. - قدرت آزمون همچنین به پراکندگی Z باشد قدرت آزمون باالتر است. را کوچک انتخاب کنیم وجود مشاهدات نسبت به میانگین دارد. هر چند انحراف از میانگین Z بزرگتر - اگر =P باشد این آزمون به طور مجانبی تبدیل به آزمون ML واریانس ناهمسانی گروهی خواهد شد که فرض کردهایم دو گروه داریم =G. 4- چون را نرمال فرض میکنیم این نسبت خوبی است براي مشاهدات محدود اگر فرض نرمال بودن را لغو کنیم باید دنبال نتایج بطور مجانبی باشیم آزمون بریوش - پایگان : آنها واریانس ناهمسانی را بصورت وسیعتري در نظر گرفتند. یعنی: h Z حالتهاي قبلی شکلی خاص از این تابع هستند و واریانس ناهمسانی گروهی نیز حالتی است که Z شامل متغیرهاي مجازي مخصوص است. آنها تابع تخمین زیر را در نظر گرفتند: û Z v û که جمله پسماند از روش OLS است و û / که از رابطه بدست میآید سازگار است مگر در مواردي که نمیتوان مورد استفاده قرار داد. چنانچه h. معلوم نیست FGLS را بصورت نرمال توزیع شود در این مدل چون اولین جمله Z یک است آزمون به صورت, 3,..., p روبرو است: فرض کنید ESS مجموع تغییرات توضیح داده شده بدست آمده از روش OLS باشد / و û ŷ Z ŷ Z ŷ, 3,..., نشان دادند که اگر B.P p باشد آنگاه: 4 - Bresch Pagan.

98 فصل دهم: واریانس ناهمسانی 33 as ESS p بنابراین اگر نااطمینانی وجود دارد که کدام یک از فرمهاي گفته شده صحیح است و یا اینکه مایل H : 3 باشد این آزمون براي واریانس همسانی وجود دارد E, E h Z..., ESS gzzz Zg g E dagw,w,..., w w E Z 3Z E Z V OLS h هستیم Z پس اگر مدل مقابل را در نظر بگیریم: H فرضیه بصورت زیر است: روش کار بصورت زیر خواهد بود و و û OLS را بدست میآوریم محاسبه میشود. محاسبه میشود. رگرس روي û Z û روي ها به روش OLS رگرس مینماییم آنگاه: V Z H : H: v p s آزمون 499 پارك - گلسجر مدل U را در نظر میگیریم بطوریکه: E این معادله را میتوانیم از معادالت کلیتري بدست آوریم: Z Z v Z Z Z V Z EV EV, EV ثابت واریانس همسانی واریانس ناهمسانی Glesjer مراحل کار را بصورت زیر شرح میدهد: را روي جمله ثابت و Z رگرس میکنیم و و را تخمین میزنیم û Park - Glesjer.

99 فصل دهم: واریانس ناهمسانی 39 تشکیل میدهیم H Var C - نسبت را بصورت میباشد چنانچه باشد رد میشود میتوان نشان داد که بطور مجانبی نرمال است و,, û N, برخی توصیه میکنند که را برروي نیز رگرس کنیم H آزمون وایت در این آزمون فرضیه واریانس همسانی است H : به ازاي همه ها H: No H ابتدا مجذور جمله پسماند مدل رگرسیون را برروي توان اول دوم و حاصلضرب متغیرهاي مستقل مدل رگرس میکنیم R این رگرسیون را بدست میآوریم نشان داده شده است R داراي توزیع مجانبی است درجه آزادي تعداد متغیرهاي مستقل بکار برده شده در این مدل با در نظر گرفتن عرض از مبدا منهاي یک میباشد بزرگتر از این آزمون کلی است و هیچ حالت خاصی از واریانس ناهمسانی را بررسی نمیکند در صورتیکه R جدول باشد مسئله واریانس همسانی منتفی است -5-4 آزمون ضریب الگرانژ براي واریانس ناهمسانی گروهی براي 5 بنگاه با مشاهده Ln L n Ln Ln H :... ln L lnl 5 lnl lnl بدون اعمال قید یعنی واریانسهاي برابر داریم:,..., Whe

100 9 لصف :مهد یناسمهان سنایراو 5 lnl 4 g V g LM هکیروطب g و لوا هبترم تاقتشم رادرب V طیارش تحت رمارک وئار نییاپ دح H.دنشابیم g 4 4 V :میسیونب ریز تروصب میناوتیم ار مود هلداعم ln L كرتشم سنایراو نیمخت یفرط زا ML زا :زا تسترابع N N ' ^ N 5 طسوتم ینعی راگزاس هدننزنیمخت 4 ^ ^ g V g LM ^ n LM :میراد هدمآ تسدب جیاتنن زا يراذگیاج زا سپ ندوب لامرن ضرف اج نیا رد LR اب نومزآ نیا یبناج روطب و دراد دوجو هیضرف يارب H.دوشیم در زین

101 فصل دهم: واریانس ناهمسانی 94 L w LR Ln Lnl L nln ln n, N Ln l ln ln 8.5 Lnl ln ln 3.96 مثال - آزمون نسبت الکلیهود براي مسئله فوق چنانچه از OLS استفاده شود چنانچه از ML استفاده شود: I F.33C I F.333C در هر صورت هر دو مقدار از بزرگتر هستند. 4 چنانچه با فرض وجود واریانس ناهمسانی تخمین بزنیم داریم: FGLS ML

102 فصل یازدهم R خود همبستگی در داده هاي سري زمانی مشکل شایع خود همبستگی یا همبستگی پیاپی است که بر روي جمالت اخالل در دوره هاي مختلف وجود دارد. براي مثال به ترسیم پسماندهاي حداقل مربعات معمولی در مثال زیر که از رگرسیون سرمایه گذاري حقیقی بر روي GNP حقیقی و نرخ بهره می باشد توجه شود. یکی از دالیل وجود همبستگی پیاپی یا خود همبستگی این است که عوامل موثر از سري زمانی حذف شده است عواملی که مانند متغیرهاي موجود در مدل مهم و با یکدیگر ارتباط دارند. دلیل دیگر براي منبع خود همبستگی نحوه تولید داده هاي آماري است. براي مثال در تعدیالت فصلی که روي متغیرها صورت میگیرد مانند CPI و GNP مراکز تولید کنندههاي آماري در داخل داده هایشان خود همبستگی وارد میکنند. مثال 4 جدول 4 متغیر وابسته: سرمایه گذاري حقیقی انحراف معیار ضرایب متغیر هاي توضیحی 4/ -/5 مقدارثابت / -/44 نرخ بهره حقیقی /5 /4 حقیقیGNP =5 / Aocoelaon

103 فصل یازدهم: خود همبستگی 98 منحنی پسماند رگرسیون تابع تخمین سرمایه گذاری واقعی شکل 4 ترسیم جمالت پسماند فوق نشان میدهد اطالع از عالمت پسماند در یک دوره نشان مناسبی از عالمت پسماند در دوره بعد است. این بدین معنی است که حداقل بخشی از اثر یک جمله اخالل بر روي دورههاي بعدي منتقل میشود. چنانچه جمله اخالل مثبتی جمله اخالل مثبتی را بدنبال داشته باشد و یا جمله اخالل منفی را بدنبال داشته باشد همبستگی مثبت داریم و چنانچه جمله اخالل مثبت جمله اخالل منفی و جمله اخالل منفی جمله اخالل مثبتی را به دنبال داشته باشد همبستگی از نوع منفی است. مثال نمودار پسماندهاي معادله سرمایه گذاري به ما میگوید که عالمت پسماند در یک دوره عالمت خوبی از حرکت پسماند دوره بعد است. این اطالعات به ما میگوید که اثر یک اختالل داده شده حداقل بطور جزیی در طول دوره ها منتقل میشود. تخمین سرمایه گذاري واقعی رگرسیون بر رويGNP حقیقی و نرخ بهره واقعی مثال 8

104 فصل یازدهم: خود همبستگی 9 شواهد نشان میدهد که یک مدل رگرسیونی براي بازار بنزین امریکا logg/pop حداقل باید شامل عرض از مبدا و /pop log pg, log باشد. سایر متغیرها مانند قیمت و روند زمانی هم داراي حداقل اثري میباشند. بعالوه Chow es نشان دهنده روي دادن تغییرات ساختاري در 84 میباشد. در زیر نمودار پسماندها در حالتهاي مختلف دیده میشود: قسمت اول تا سوم میگویند زمانی که اجزاي رگرسیون گسترش مییابند خود همبستگی پسماندها کاهش مییابد. قسمت سوم مدلی را نشان میدهد که در آن همه ضرایب در معادله قبل و بعد از تغییرات ساختاري یکسان هستند. در قسمت آخر پسماندها با توجه به مدل غیر مقید با ضرایب متفاوت در دو دوره - 84 و 84-5 آورده شده این دسته از پسماندها غیر همبسته اند. یعنی دامنه تغییرات کاهش می یابد..Regresson on logpg.regresson on logpg,log/pop 3.Fll Regresson 4.Fll regresson, separae coeffcens

105 95 لصف یگتسبمه دوخ :مهدزای -44 یپایپ یگتسبمه طیارش تحت نیمخت لدم U مینک ضرف و میریگب رظن رد ار عون زا AR :هکیروطب دشابیم :هکیروطب s E E E s,, رب هولاع اجنیا رد Whe Nose 46 هلمج ندوب درگارف رد طرش AR یم ظاحل زین ار درگارف بیترت نیدب.مینک سنایراو سیرتام هبساحم يارب.دشاب یم انام عون زا یفداصت سنایراووک :دومن لمع ریز بیترت هب ناوتیم W UU E E E Var Var Var h h رادقم هچنانچ دشاب مولعم GLS هتفای لیدبت لدم رد ای میرب یم راکب OLS.میربیم راکب P P W سنایراو و رفص نیگنایم ياراد یفداصت رگارف رگا.4 ارنآ دشاب هتشادن یگتسباو رگیدکی اب و دشاب whe Nose.دنیوگ

106 9 لصف یگتسبمه دوخ :مهدزای P :زا تسترابع هدش هتفای لیدبت لدم k k k k k k k k U PU P P, ياهنوتس يور رب هچنانچ و :میراد میسیونب ار لدم, زا هکنآ نودب میناوت یم GLS هچنانچ لوا هدهاشم نداد تسد زا اب میشاب هتشاد یعلاطا مولعم شور هب دشاب OLS اما.مینزب نیمخت ار میناوت یم اذل.تسین مولعم لاومعم لدم زا ار AR سپس و میهد رارق لدم رد و مینزب نیمخت.میئامن دروآرب ار 8-44 ییامن تسرد رثکادح شور هب نیمخت شور هلمج يارب ییامن تسرد رثکادح عبات هک یطیارشرد W E :تسا ریز تروصب دشاب یم exp,, ; W W L :میراد قوف هطبار نیفرط زا متیراگل نتفرگ اب

107 9 لصف یگتسبمه دوخ :مهدزای exp,, ; w W Log Log Log W W Log Log L رادقم هچنانچ :میراد مینک برض - ددع رد و مینک فذح ار تباث,, ; W W Log L Log 4 هب تبسن ادتبا ار قوف عبات لاح و مینک یم ممینیم :میروآ یم تسدب ریز تروصب ار W هچنانچ هطبار رد ار :میراد میهد رارق W Log Log Log W Log Log Log L ;, هب ار نیفرط و فذح ار لوا هلمج و :تشاد میهاوخ مینک یم میسقت W W Log L Log, ; هب تبسن ار قوف عبات و.مینک یم ممینیم :میراد یفرط زا P P P P W P P W :نوچ P W

108 93 لصف یگتسبمه دوخ :مهدزای :میسیونب ریز تروصب میناوت یم ار هطبار اذل P P L ] [., ;,.. :میراد دوش رزب یفاک هزادناب تادهاشم دادعترگا Lm هجیتن رد و لوا هدهاشم زا میناوت یم هرخلااب و ار ریز عبات و میئامن رظنفرص :مینک ممینیم L ] [,, نیمخت تسا رزب یفاک هزادناب هنومن هزادنا رگا و ییاه هدننز نیمخت قوف مود هجرد مرف رد MLE هب کیدزن.دنشاب یم :يروآدای - رگا.دشابن حیحص دیاش و هطبار ندومن بیرقت دشاب کی هب کیدزن - نیمخت و ندرک ممینیم اب هک L اب یبناجم روطب دنیآ یم تسدب ML ML,.دنشاب یم ناسکی - هب تبسن ادتبا ار لدم هچنانچ رگا کچوک ياه هنومن رد و میراد هگن تباث تسدب ار هب تبسن ادتبا سکعرب ای و میروایب هب تبسن سپس و مینزب نیمخت.دشاب توافتم دیاش :تشون زین ریز تروصب ناوت یم ار هطبار 4 ], [, LogL

109 فصل یازدهم: خود همبستگی 99 مراحل روش تخمین کوکران اورکات : 47 را بر روي رگرس می کنیم یعنی بجاي مینیمم میکنیم. پس از بدست آوردن بدست آوردن قرار میدهیم و رابطه 4 را نسبت به ols, ols استخراج و سپس را بر روي û û بکار می بریم. براي ; MnLogL ols, ols میآوریم. را داخل رابطه 4 قرار می دهیم و آنرا نسبت به مینیمم میکنیم و, LogL را مجددا نسبت به co روش را تکرار کنیم. co مینیمم میکنیم تا co را بدست بدست آید و میتوانیم این یادآوري: اگر مرحله یک را با یک تخمین زننده سازگار براي آنگاه نتایج بدست آمده براي و آغاز کنیم و آنرا براي چند بار تکرار کنیم سازگار است و بطور مجانبی با MlE یکسان خواهد بود. براي ثابت اگر روش کوکران اورکات را تکرار کنیم همگرا خواهد شد ولی ممکن است بیش ازیک نقطه مینیمم براي رابطه 4 پیدا کنیم از این رو روش تکراري ممکن است بستگی به مقادیر اولیه داشته باشد روش و مراحل کار Hlderh LU مقداري بین و - براي هر مقدار از براي در نظر میگیریم. تابع 4 را نسبت به مینیمم میکنیم. RSS LogL, - -, مقداري براي انتخاب می کنیم که RSS را مینیمم کند. - این روش را با تکرار و انتخاب مقادیر محدود در حوالی تغییرات تثبیت شد متوقف مینمائیم. ادامه میدهیم. هر زمان که بین Cochran - Orc

110 فصل یازدهم: خود همبستگی روش و مراحل کار دوربین [ `, ] رابطه را می توانیم بصورت زیر بنویسیم: 5 روي چنانچه رابطه بین و را نادیده بگیریم رابطه 5 تابع هدف OLS خواهد بود. یعنی رگرس می کنیم ضریب متغیر است. اما اگر به رابطه بین را بر و,,, توجه کنیم و را به روش NLS تخمین بزنیم. بطور سازگار برآورد می شود. آنگاه از براي FGLS استفاده می کنیم.,. d. در نظر بگیریم: از روش Drbn Cochran Orc, Hlderh LU, بدست می FGLS W W خالصه را با توجه به مدل U -44 روش FGLS - مقدار اولیه اي براي آوریم. - 4 یادآوري: اگر داده هاي آماري فصلی باشد و رابطه بصورت زیر: 4 سپس GLS را محاسبه می کنیم مدل تبدیل یافته بصورت زیر است: 4 4 3,,, 4 56,,..., نحوه ادامه کار براي رسیدن به MLE, FGLS همانند مدل AR می باشد آزمون براي تشخیص همبستگی پیاپی خود همبستگی H: W I در اینجا می خواهیم فرضیه H را بصورت: بررسی کنیم: 48. Drbn.

111 44 لصف یگتسبمه دوخ :مهدزای : 49 نوستاو نیبرود نومزآ هرامآ d :مینکیم فیرعت ریز تروصب ار U MU U AU d MU U U U d ols ] [ :هکیروطب I M A و تسا انام درگارف کی E نیب طابترا هکیتروص رد تسا و لماک دشاب اذل و تسا سپس.دش دهاوخ d =.دش دهاوخ هچنانچ تروصنآ رد دشاب d هچنانچ :دشاب رزب یفاک هزادناب d هچنانچ :تروصنآ رد دشاب 4 4 d 49. Drbn - Wason

112 4 لصف یگتسبمه دوخ :مهدزای هک تسا نشور 4 d.تسا :تسا ریز هطبار ظاحل هب هنماد نیا لیلد d تسا کی زا رتکچوک موس هلمج و کی زا رتگرزب لوا هلمج :سپ d میهد ناشن هکنآ يارب 4 d :مینک تباث ار ریز هطبار دیاب تسا 4 d d هدش هداد ناشن اذل d و رفص نیب هراومه 4 تبثم یپایپ یگتسبمه اهدنامسپ هچنانچ.دراد رارق هدش هبساحم رادقم دنشاب هتشاد d هتشاد یفنم یپایپ یگتسبمه اهدنامسپ رگا و دوب دهاوخ کچوک هدش هبساحم رادقم دنشاب d ناوت یم هتبلا.دوب دهاوخ رزب يارب لودج هب طوبرم ریداقم زا هدافتسا اب d l و d.داد ماجنا رت قیقد ار هیضرف نومزآ

113 فصل دوازدهم هم خطی ماتریس در تحلیلهاي مدل رگرسیون فرض میکردیم که ما تریس مشاهدات برروي متغیرهاي مستقل یعنی داراي مرتبه کامل باشد. یعنی رابطه خطی کامل بین متغیرهاي مستقل وجود نداشته باشد. میدانیم براي آنکه معکوس وجود داشته باشد باید داراي مرتبه ستونی کامل باشد. موردي را در نظر بگیریم که فقط دو متغیر توضیحی و عرض از مبدأ داریم. براي هر کدام از شیبهاي مسئله داریم: Var k r x k x k r S kk k, اگر دو متغیر کامال به یکدیگر وابسته هستند واریانس k به سمت بینهایت میل میکند. وجود ارتباط خطی کامل در بین رگرسورها نقض جدي فروض مدل است. مورد شایعی که وجود دارد این است که ارتباط بین دو متغیر خیلی باالست اما کامل نیست. در این حالت مدل رگرسیون داراي کلیه ویژگیهاي خود میباشد هر چند بالقوه داراي مسایل آماري حادي میباشد. 5-4 هم خطی کامل فرض میکنیم تابع مصرف را بصورت زیر تصریح نموده باشیم: + حقوق 3 4 درآمد کل + + درآمد از طریق غیرکار C= Mlcollnear. 5 -Perfec Collnear.

114 فصل دوازدهم: همخطیMlcolneaon 4 در تابع فوق امکان تفکیک اثرات هر کدام از اجزاء درآمد برروي مصرف وجود ندارد. مثال اگر تابع فوق را بصورت زیر بنویسیم: EC N 3 S4 ; NS گیریم q مقدار غیرصفري باشد که پارامترهاي مدل را بصورت زیر بازنویسی کنیم: q, 3 3 q, 4 4 q لذا داریم: E C N 3 S 4 و این مدل براي پارامترهاي مختلف قابل تصریح است. C برخالف مرتبه کامل این مدل اجازه میدهد که مقدار EC براي مقادیر مختلف پارامترها یکسان باشد. البته در اینجا باید توجه کنیم که مشکل داده آماري نداریم بلکه مشکل در تصریح مدل است. اصطالح ا میگویند پارامترهاي این مدل قابل شناسایی نیستند و این مشکل را تحت عنوان مسئله تشخیص یا شناسایی بررسی خواهیم کرد. در این مدل ترکیبات بیشماري از پارامترها میتوانیم داشته باشیم که میانگین انتظاري یکسان است. لذا مهم نیست که چه مقدار داده آماري توانستهایم گرد آوریم پارامترها قابل تخمین نخواهند بود. در نتیجه فرض مرتبه کامل بعنوان فرض تشخیص میتواند در نظر گرفته شود باین معنی که براي بردار معین x فقط یک دسته پارامتر میباید سازگار با مقدار معین E باشد. x x x a x x R را نمیتوانیم بصورت منحصر بفرد باروش OLSتخمین زده وبدست آوریم مثال : لذا پارامترهاي معادالت نرمال و x x x x دو معادله تبدیل به یک معادله میشود بصورت زیر: x x ^ E x x لذا E میتواند بطور منصر بفرد بدست آید چون را میتوانیم بصورت منحصر بفرد بدست آوریم 8-4 هم خطی ناقص مثال : وقتی مرتبه ماتریس کوچکتر ازK باشد مثال L<K درآنصورت L پارامتر قابل تخمین خواهند بود اهمیت این درآنست که درK ستون فقطL منبع تغییر وجود دارد لذا داده هاي آماري فقط اجازه تخمین L

115 فصل دوازدهم: همخطیMlcolneaon 45 پارامتر را بما میدهد بیشتر شایع است که متغیرها با یکدیگر رابطه داشته باشند ولی نه رابطهاي کامل مورد هم خطی ناقص یا همبستگی باال بین متغییرها برخالف هم خطی کامل یک مشکل در دادههاي آماري است مشکل تخمین ازنوع عدم تشخیص نخواهد بود اما به دقت تخمین زننده ها برمیگردد هر چقدر رابطه بین رگرسورها بیشتر باشد دقت تخمین زنندهها نیز کاهش مییابد این مسئله رادر مدل زیر بررسی W درنتیجه داریم: k بطوریکه را در نظر بگیریم میکنیم مدل U W x U k اثرات هم خطی ناقص را بر روي دقت تخمین زننده ها بررسی میکنیم رابطه را میتوانیم بصورت V k Var k V V I WWW xk k k W k k زیر بنویسیم: بطوریکه: عبارتست از جمله پسماند ناشی از رگرسیون بر روي سایر رگرسور ها اگر در حد باالیی با V k V k V k سایر رگرسورها همبسته باشد آنگاه وقتی کوچک میشود چون مجموع مجذورات خطا همراه باافزایش هم خطی بین متغییر K ام وسایر متغییرها کاهش پیدا میکند درنتیجه واریانس k میکند ولی توجه داشته باشیم همه پارامترها شبیه بهم وبطور یکسان ازاین قاعده متاثر نمیشوند به مثال عددي زیرتوجه کنیم: افزایش پیدا 5 و بزرگتر از است برابر یک میباشد برابر 5 است R, 3 R,3 R3,.. در اینجا متغییرهاي مستقل کامال بر هم عمودند. واریانس 3 بزرگتر از است ودترمینان برابر میباشد واریانس 3.5 است دترمینان.83 5 برابر.8 3 ده برابر واریانس دترمینال شده است باال رفته و برابر واریانس مالحظه میشود هرچند واریانس.5 در این حالت واریانس

116 فصل دوازدهم: همخطیMlcolneaon 4 در این وضعیت واریانس نیست درحالیکه واریانس 3 و 3 کوچکترین واریانس شده است و خیلی بزرگتر از واریانس 3 حدودا 5 برابر از حالت اول بزرگتر شدهاند دترمینال است پس نتیجه این است که اثرات همخطی ناقص بر روي ضرایب مختلف متفاوت است. در حالت اول برابر /85-4 تشخیص هم خطی در مثال عددي فوق اگر به R ها توجه شود بین آنها و افزایش واریانسها نسبت به حالت اول رابطه اي وجود دارد چنانچه فرض کنیم SSk کل مجذورات خطا براي انحراف از میانگین k RSS k V V k k آنصورت: مجذور ضریب همبستگی مجموع مجذورات خطا وقتی W روي k باشد رگرس میشود محسوب میگردد R k RSS RSS SS k SS k k R k k یا : از رابطه داریم: اگر فرض کنیم Var k RSS k عبارتست از تخمین پارامترها در حالتی که در SS k R k ماتریس قطري باشد آنگاه است و واریانس برابر است با R k SS k لذا میتوانیم از نسبت این دو واریانس بعنوان یک شاخص براي اندازهگیري بزرگی واریانسهاي ضرایب مختلف استفاده کنیم مثال عددي: Var k Var R k Rk : Var k Var ماتریس است این روش روش جایگزین براي تشخیص هم خطی استفاده از عدد وضعیت 5 توسط 98 al Belsle e با استفاده از مقادیر ویژه ماتریس بکار برده شده است آن عدد وضعیت یک ماتریس جذر نسبت بزرگترین مقدار ویژه یک ماتریس به کوچکترین مقدار ویژه 53 ماتریس بدست می آید یک ماتریس که معموال با نماد دترمینال یک ماتریس را میتوان برحسب حاصلضرب مقادیر ویژه 54 نشان میدهند نشان داد یعنی:... k 5 -Condon Nmber Egen Vales. 5- مقادیر ویژه ماتریس در بخش ماتریسها آمده است

117 فصل دوازدهم: همخطیMlcolneaon 4 دترمینال خیلی کوچک باین معنی است که بعضی یا خیلی از مقادیر ویژه کوچک هستند / max CondonN mber mn 55 ها همه بر هم عمود باشند و اصال رابطهاي بین آنها وجود نداشته باشد = است و این در R k اگر k حالی است که ها برابر صفر است هر چقدر همبستگی متغیرها با یکدیگر بیشتر باشد وجود هم خطی است نیز افزایش مییابد > عالمت خطر براي 5 4 میتوانیم مقدار منحصر بفردي براي میانگین.5.5 E 5 و فرض کنیم در مثال فوق = و 4 مثال : حل: نشان داده میشود که براي مقادیر مختلف را نمیتوانیم بطور جداگانه تخمین بزنیم ولی ترکیب خطی آنها قابل تخمین است و بدست آوریم و گرچه و براي هر مقدار را میتوان تخمین زد E A A dag باشد آنگاه داریم: تجزیه واریانس ضرایب مدل رگرسیون چنانچه A ماتریس بردارهاي ویژه ماتریس... k AA AA k a a به طوریکه: و سپس داریم: در نتیجه: یا: تقسیم میکنیم 56 - Regresson Coeffcen Decomposon Varable. 55- براي از بین بردن مقیاس هر ستون را بر k k

118 فصل دوازدهم: همخطیMlcolneaon 43 a بطوریکه بردارهاي ویژه متناظر بامقادیر ویژه هستند ماتریس واریانس- کواریانس پارامتر این معادله میتواند بیانگر دقت تخمین رامیتوانیم بصورت زیر بنویسیم: VC Var j a k j a a a j a... jk k j - - بوسیله OLS باشد عواملی که بر دقت تخمین زننده ها میتواند موثر باشند را بشرح زیر میتوان بیان کرد: الف- دقت تخمین هر پارامتر بصورت معکوس با باشیم نتایج تخمین از اطمینان کمی برخوردارند رابطه دارد تغییرات متغیرهاي مستقل بیان کننده مقادیر ویژه تخمین زننده ها اثرمیگذارد اگر تغییرات کل متغیرهاي مستقل را با اثر ماتریس یعنی هرچه اغتشاش زیاد داشته است که به دو صورت زیر بر روي 57 آنگاه افزایش درکل تغییرات بشرط آنکه سایر عوامل ثابت باشد دقتOLS را باال میبرد اندازه گیري کنیم ب- مقادیر ریشه هاي ویژه از طریق تساوي و یا عدم تساوي بین خودشان روي دقت تخمین زننده ها اثر میگذارند یعنی اگر بزر میشود و لذا k نسبت به سایر ها خیلی کوچک است آنگاه a jk k Var j ممکن است بزر شود وقتی رگرسورها با یکدیگر رابطه باالیی داشته باشند معموال موارد زیر را مشاهده میکنیم: خیلی الف تغییرات کوچکی در نمونه دادههاي آماري تغییرات زیادي را در تخمین پارامترها موجب میگردد ب علیرغم j باال که نشان از ارتباط بین متغیرهاي مستقل و وابسته است ولی به لحاظ داشتن انحراف معیارهاي بزر تخمین ضرایب از سطح معنیداري برخوردار نیستند ج عالمت ضرایب خالف انتظارات تئوریک است دو راه حل مکانیکی براي برخورد با مهمترین مسئلهاي که هم خطی ایجاد میکند یعنی واریانسهاي بزر پیشنهاد شده است راه حل اول استفاده از روش تخمین ریج 58 مزبور به صورت زیر تعریف میشود: روش تخمین r [KI] K ماتریس قطري است که عنصر روي قطر آن عددي اختیاري است K طوري انتخاب میشود که نتایج تخمینها پایدار شوند گرچه r داري تورش است 57 - race 58 -Rdge.

119 فصل دوازدهم: همخطیMlcolneaon 49 E KI r چون: ولی واریانس آن کوچکتر از واریانس تخمینزنندههاي OLS است و VC r KI KI مثال: براي دادههاي آماري زیرکه میزان اشتغال کل را برروي عرض مبدا روند GNP GNPD K= OLS K=. مخارج نیروي نظامی رگرس نموده است بیان میکند ثابت GNPD GNP Armed Forced بیان دیگر این روش آنست که مقدار ثابت K را به واریانس متغیرهاي توضیحی اضافه کنیم هر چند تخمین پارامترها تورشدار است ولی MSE کاهش پیدا میکند یکی از راههاي انتخابی K ضریب الگرانژ در k C s. : C Mn : k C k k K K مدل OLS مقید است بطوریکه مثال : مثال در یک مدل دو متغیره داریم: در واقع معادالت فوق معادله نرمال مربوط به روش برآورد Rdge میباشد و K ضریب الگرانژ است راه حل دیگري که براي مشکل هم خطی پیشنهاد میشود روش: Prncpale Componen Regresson است فرض کنید K تا متغیر داریم میتوانیم روابط خطی بین این مغیرها را بصورت زیر در Z a a Z... a k k Z b b... b k k a a... a k k Z x a نظر بگیریم و بهمین ترتیب

120 فصل دوازدهم: همخطیMlcolneaon 44 a بردار اگر کل تغییرات در فرض کنید بردار ریشه ویژه با اثر متناظر با ریشه ویژه است که تعریف شود تغییرات بزرگرین ریشه مشخصه است قابل توضیح است W با ماکزیمم شود با قید اینکه مجموع مجذورات a برابر با یک باشد آنگاه ها را طوري انتخاب کنیم که واریانس a Z a a... a k را اولین Z Prncple Componen 59 که شرط نرمال کردن است پس گویند PC تابعی خطی از x بیشترین واریانس است جریان ماکزیمم نمودن واریانس توابع خطی Z با قید اینکه مجموع ضرایب هاست که داراي ها برابر x با یک باشد منجر به K تا جواب خواهد شد بطوریکه K تا تابع خطی خواهیم داشت که PC هاي x ها خوانده میشوند پس از آن واریانسهاي Z ها را میتوانیم بصورت زیر مرتب کنیم Var Z VarZ... VarZ k Z با بیشترین واریانس اولینPC خوانده میشود Z با بیشترین واریانس دومین PC خوانده میشود و بهمین ترتیب این PC ها داراي ویژگی هاي زیرند: VarZ VarZ... VarZ Var Var... Var k - برخالف ها که باهم رابطه دارند Z ها برهم عمودند یا رابطه ندارند لذا بعضی پیشنهاد میکنند k - که بجاي رگرسیون بر روي ها را بر روي Z ها رگرس کنیم ولی این روش صحیح نیست چراکه به جوابهاي مشابه خواهیم رسید اما اگر را روي زیر مجموعهاي ازZ ها کنیم پیشرفتی حاصل میشود گرچه داراي مشکالتی بشرح زیراست: - اگرچه اولین PC باالترین واریانس را دارد ولی معلوم نیست بیشترین همبستگی را با داشته باشد - ممکن است بگوئیم آن PC هایی را انتخاب میکنیم که بیشترین رابطه را با دارند و بقیه را کنار میگذاریم این کار درباره ها هم عملی است - ترکیب خطی ها مفهوم اقتصادي ندارد یعنی مثال : قیمت +درآمد مفهومی ندارد PC ما را راهنمایی میکند که چند منبع تفسیر مستقل درداخل مدل وجود دارد فرض کنید چندین نرخ بهره داخل مدل وجود دارد ولی روشPC نشان میدهد که دو تا PC درصد تغییرات نرخ بهره را نشان میدهندمیگوئیم فقط دو متغیر پنهان وجود دارد که همه تغییرات نرخهاي بهره رانشان میدهد 59 - Normalzaon.

121 فصل سیزدهم سیستم معادالت همزمان خطی چنانچه متغیر وابسته درونزا یک معادله در سمت راست معادالت دیگر ظاهر شود معادالت همزمان خواهیم داشت. دو مسئله اساسی در معادالت همزمان وجود دارد که عبارتست از تورش همزمانی و مسئله تشخیص. براي آنکه به این دو مشکل در معادالت همزمان پی ببریم به مثال زیر توجه کنیم: مدل ساده کینزي زیر را در نظر بگیریم: C.. dn, C I I I C چنانچه پارامتر را در معادله به روش OLSتخمین بزنیم داریم: 4 6. Lnear Smlaneos Eqaons Model

122 فصل سیزدهم: مدل معادالت هم زمان خطی 44 E باشد تورشدار بودن یا نبودن بدون تورش و چنانچه بستگی به امید ریاضی حاصلضرب مخالف صفر باشد دارد. اگر و برابر صفر داراي تورش است. براي آنکه به این I I I E OLS E OLS مسئله پی ببریم کافیست آن را محاسبه کنیم. I مالحظه میکنیم OLS لذا با جایگزاري در رابطه 4 داریم: میگویند. داراي تورش است. به این تورش تورش همزمانی 6 Plm Plm Plm I سئوال این است که آیا سازگار است صورت جمله دوم به سمت و مخرج به سمت P lm لذا داریم: I میل میکند. OLS نتیجه میگیریم که در معادالت همزمان داراي تورش و ناسازگار است. براي آنکه به یک تخمین زننده سازگار برسیم میتوانیم روش متغیر ابزاري را مورد استفاده قرار دهیم. 6. Smlaneos bas

123 فصل سیزدهم: مدل معادالت هم زمان خطی 448 را در نظر بگیریم همانطور که در فروض رگرسیون آمده است درصورتیکه -48 روش متغیرهاي ابزاري : x مدل, Cov x باشد تخمینزنندههاي ناسازگار خواهند بود. متغیرهاي ابزاري در اینجا عبارتست از متغیري که با ارتباط نداشته باشد ولی با متغیر داراي همبستگی باالیی باشد. فرض کنیم چنین z z z x IV z z x U z Plm x OLS, متغیري باشد. بطوریکه چون Cov z باشد در آنصورت داریم: Q z Plm لذا داریم: حال مدل را بصورت چند متغیره در نظر بگیریم: همانطور که میدانیم: لذا تخمینزننده U Plm و طبق فرض است که متغیر ابزاري رگرسورهاي است چون : P lm باشد و در نتیجه IV نیز یک تخمینزننده U حال اگر در مدلی Plm به سمت صفر میل نکند مثال یکی از عناصر و رابطه برقرار باشد باید متغیر یا متغیرهایی در قالب ماتریس W K OLS U بین اخالل رابطهاي نداشته باشند و در عین حال با همبستگی داشته باشد. پیدا کنیم که با جمالت EW U W W WU یعنی : در این صورت: IV IV W W' Plm P lm IV W WU IV باشد. در آن صورت بصورت زیر تعریف میشود. W Plm ^ IV Q wx. W U Plm WU اگر Plm پس داریم: مثال: مجددا تابع درآمد و مصرف مدل کینز را که براي سادگی عرض از مبدا آنرا کنار گذاشته ایم در نظر بگیریم: C C I

124 فصل سیزدهم: مدل معادالت هم زمان خطی 44 چنانچه, چنانچه متغیر از طریق I OLS تخمین زده شود داراي تورش خواهد بود و ناسازگاراست. را بعنوان متغیر ابزاري در نظر بگیریم داریم: IV = I C I I I P lm IV I P lm = I P lm I P lm P lm I Q I چون: ثابت P lm IV در نتیجه: : مسئله تشخیص باشیم و اگر در مدل حال اگر ها غیرتصادفی باشند و N, I اگر ما توزیع را داشته ها هم معلوم باشند قادر خواهیم بود مقادیر واقعی را پیدا کنیم بدین ترتیب که چون : N, I را داشته باشیم از رابطه زیر میتوانیم سئوال این است که آیا رابطه فوق براي اگر پاسخ مثبت باشد را پیدا کنیم. E چنانچه پاسخ منفی است قابل تشخیص و شناسایی است. در معادالت غیرهمزمان میگفتیم اگر قابل تشخیص نیست. E داراي بطور منحصر بفردي قابل حل است را تشخیص بدهیم. شرطی که براي این کار قرار میدادیم این بود که معلوم و معلوم چنانچه دچار همخطی نباشیم قادریم Rank k یعنی ماتریس K تشخیص بود. ستون مستقل از هم باشد. پس چون این شرط را قرار میدادیم مدل خطی غیرهمزمان قابل 6. Indenfcaon

125 445 :مهدزیس لصف یطخ نامز مه تلاداعم لدم -48 :يراتخاس مرف ياهرتماراپ صیخشت :میریگب رظن رد ار ریز ياضاقت و هضرع لدم لدم اضاقت عبات D c l p b a q هضرع عبات S r c p b a q D S q q q l و r لدم نیا رد دنتسه ازنورب ياهریغتم ود ره هک یگدنراب و دمآرد نازیم زا دنترابع بیترت هب ياهریغتم رادقم و و تمیق.دنتسه ازنورد,..,, N d U :میراد لداعت طرش زا هدافتسا اب s p r c p b a q c l p b a q 63 يراتخاس مرف ار لااب مرف.دنمانیم ياهرتماراپ a b c,,,.دنیوگیم يراتخاس لدم ياهرتماراپ ار 64 هدش لح مرف هب میناوتیم لااب مرف ای لدم لح و يرازگیاج اب :میبای تسد v r l q v r l q,.., N d v v V :هکیروطب 3,, b b b c b b b c b b b a a b 6 5 4,, b b c b b c b b a a, b b V b b b b V 63. Srcral Form 64. Redced Form

126 فصل سیزدهم: مدل معادالت هم زمان خطی 44 b b b b b b پارامترهاي, فرض کنید را پارامترهاي فرم حل شده مینامند. q, p غیرتصادفی باشند و توزیع معلوم باشد. r, e الف: حال مسئله شناسائی در فرم حل شده بصورت زیر قابل بررسی است. فرض کنید از توزیع q, p, را از فرم حل شده,,,, 6 6,,,,,, و متغیرهاي درونزا اطالع داشته باشیم حداقل دو گشتاور اول 3 4, 6 آیا میتوانیم بطور منحصر بفردي مقادیر بدست آوریم به عبارت دیگر اگر دو سري پارامتر بصورت زیر داشته باشیم: که هر دو سري توزیع مشابهی را براي آنگاه مشاهده و متغیرهاي برونزا نشان میدهند., Z به ما اجازه نخواهد داد تا ساختار موردنظر را z z E 3 z E میتوانیم را محاسبه U 4 5 6, r تعیین کنیم حتی اگر مشاهدات نامحدود باشد. حال: اگر مرتبه ماتریس Z کنیم و بطور منحصر بفرد بدست بیاوریم. برابر باشد یعنی کامل آنگاه با مشاهده برابر است با واریانس کوواریانس. لذا میتوانیم ماتریس ماتریس واریانس- کوواریانس Vیعنی را نیز بدست آوریم. در نتیجه اگر ماتریس مشاهدات بر روي متغیرهاي واریانس کوواریانس.. برونزا داراي مرتبه کامل باشد و جمله اخالل d باشند پارامترهاي فرم ساختاري قابل شناسایی هستند. ب- مسئله شناسایی در فرم ساختاري: گیریم توزیع متغیرهاي درونزا حداقل دو گشتاور اول را q, p معلوم است. آیا میتوانیم بطور منحصر بفرد و یک بیک به پارامترهاي میدانیم یعنی توزیع b,, c, برگردیم فرم ساختاري a مجددا این بحث مطرح میشود که اگر دو سري پارامتر براي فرم ساختاري وجود دارد که توزیع مشابهی را نشان میدهد ما نمیتوانیم بین دو ساختار تفاوت قائل شویم و ساختار موردنظر را تعیین کنیم حتی اگر حجم نمونه نامحدود باشد. q در اینجا, p همانطور که قبال نشان داده شد داشتن دو گشتاور اولیه از توزیع متغیرهاي وابسته براساس فروض مدل ساختاري برابر است با:,,, 6 و لذا سئوال درباره شناسایی پارامترهاي فرم ساختاري به این سئوال تبدیل میشود که اگر را داریم آیا میتوانیم بطور منحصر بفرد و یک به یک مقادیر پارامترهاي فرم ساختاري یعنی را بدست آوریم,,,,, a, bc, a, b, c

127 فصل سیزدهم: مدل معادالت هم زمان خطی 44 نیز, براي ما معلوم,, را بدست آورم مقادیر,, 6, b,b توجه داریم که اگر و میشود. در نتیجه سئوال منجر به این سئوال میشود که آیا میباشد نشانگر مقادیر منحصر بفرد براي b b b, c, b 5 a, c, براي مدل فوق داریم:, c b 6 b c b, a b 4, a b 4 b j و چون معلوم است بطور منحصر بفرد تعیین میشوند. لذا پارامترهاي فرم ساختاري مدل قابل شناسایی هستند. حال مدل دیگري از عرضه و تقاضا را در نظر بگیریم: مدل - q q q D s D a b p c l a q s b q p فرم خالصه شده بصورت زیر است: q p l v l v 4 5 a b a b, b b a a 4, b b 5 cb b b c b b که مانند مدل محاسبه شده است مالحظه میشود تفاوت فرم خالصه شده فوق با فرم خالصه شده r مدل تنها در حذف متغیر در معادله عرضه میباشد. پارامترهاي فرم خالصه شده باز هم قابل شناسایی هستند. اما براي رسیدن به پارامترهاي فرم ساختاري فقط 4 پارامتر معلوم در فرم حل شده داریم در حالیکه a, b, c, a b, در مدل ساختاري 5 پارامتر دیده میشود علیرغم آن پارامترهاي فرم ساختاري تابع عرضه قابل شناسایی هستند. یعنی: آشکار است که سیستم کمتشخیص است. 65 اما a b b, 4 5 لذا تابع عرضه قابل تشخیص ولی تابع تقاضا قابل تشخیص نیست. b b اما اگر فرض کنیم است در آنصورت داریم: یا به عبارت دیگر مجموع کشش عرضه و تقاضا براي کاالي خاص قرینه 5 b b a b 4 c, 65. Underdenfed

128 فصل سیزدهم: مدل معادالت هم زمان خطی 443 q q q D S D a b p c l d r a q b p S q مدل - و باالخره تابع عرضه و تقاضاي زیر را در نظر بگیریم: فرم خالصه شده مدل بصورت زیر است: q p l r v 3 l r v a b a b, c b, b b b b a b, 4 5, b b b b 3 b 6 یا b / a 5 b 4 c db 3 b b d 6 b b a و b در این مدل دو فرم براي و براي داریم یعنی: d, c, b a هیچ جوابی نخواهیم یافت., در اینجا تابع عرضه بیش از حد قابل شناسایی است ولی تابع تقاضا قابل شناسایی نیست. تفاوت قائل هستیم. و کم تشخیص 68 فوق تشخیص 67 پس بین سه حالت دقیقا قابل تشخیص 66 مالحظه کنید فرمولهاي فوق را براي بدست آوردن و تخمین پارامترهاي فرم ساختاري استفاده میکنیم b, b 5 اما در مدل داریم: b b و لذا فوق تشخیص هستند. یعنی ها جوابهاي منحصر بفردي بدست نمیدهند. در اینصورت میگوئیم پارامترها 5-48 نمادها فروض و قضایاي حد مرکزي: چنانچه مشاهده معادله ام از معادله ام را در نظر بگیریم: ام براي مشاهده عبارتست از : 66. Exac Idenfed 67. Over Idenfed 68. Under Idenfed

129 فصل سیزدهم: مدل معادالت هم زمان خطی 449 G b K j j j j Z j C j U. b. ZC. U..,,. G, Z z.,, z. k G K,, b بطوریکه: معادله ام براي بطوریکه: مشاهده عبارتست از : : G : K K تعداد متغیرهاي درونزا و تعداد متغیرهاي برونزا در معادله ام است. عبارتست از بردار متغیرهاي درونزا که در معادله ام ظاهر شدهاند. عبارتست از بردار متغیرهاي از پیش تعیین شده که در معادله ام ظاهر شدهاند. و را بصورت زیر تعریف میکنیم: G Z. Z.. معادله بطوریکه: ام را میتوانیم بصورت زیر بنویسیم:, Z, حال فرض کنیم بخواهیم ستون j ام را از ماتریس انتخاب کنیم خواهیم داشت:.. e. j e. j j است که همه عناصر آن بجز عنصر j ام صفر است و عنصر j ام برابر یک است.,, G e, e G...,. L G K GG Z Z L K K KK و بهمین ترتیب G یک بردار e. j L را ماتریسهاي انتخابگر مینامیم. L و

130 فصل سیزدهم: مدل معادالت هم زمان خطی 4 b c. L. L براي مثال:,, b,, b Zc,, c,.. G.. G.. G.,. G. x.. G x G G... G لذا فرم ساختاري مدل را میتوانیم بصورت زیر بنویسیم: اگر ماتریسهاي و U را برداري نمائیم داریم: Vec, VecU یا: بطوریکه: L B Vec C B L Vec C L G B G GG Z G GG L G C U G I B ZC U ZCI B UI B : بردار پارامترها بدون اعمال قید است. حال چنانچه را به سمت چپ برده و از آن فاکتور بگیریم داریم: ZII V C I B, V UI B فرم مقابل را فرم خالصه شده میگویند. بطوریکه:. s. -48 فروض مدل :. بردار.. هستند d یعنی جمالت اخالل در طول زمان از یکدیگر مستقلند ولی بر روي معادالت خیر. E for s E E... -

131 فصل سیزدهم: مدل معادالت هم زمان خطی 44 Q E E Q.. j ji.. G E..,,. G I lm lm ماتریس I B غیرمنفرد است. فرض کنید W غیرمنفرد و محدود محدود براي شرایط پایداري: زیرماتریسی از Z باشد متناظر با متغیرهاي برونزا فقط برونزا آنگاه: K w w.. lm ww w. w k,, K I B ZC U I B WC C C U ماکزیمم H H H H بطوریکه عبارتست از مشاهده روي متغیر تأخیري براي دوره ام و H I B C C H تاخیراست. آنگاه فرض میکنیم که قدر مطلق ریشه معادله دترمینان w کوچکتر از یک باشد. عناصر ماتریس W بطور یکنواختBonded c باشند. -5 ZZ Q P lm Q فروض مربوط به قضایاي حدي مرکزي: محدود و غیرمنفرد است. بطوریکه وجود دارد. Q Z Vec E Z Z.. G Z Vec I E Z n. d N, Q Z Z EI I Schonfld 97 اثبات:

132 فصل سیزدهم: مدل معادالت هم زمان خطی 4 I Z I I Z ZZ Z. N, Q نتیجه - Z. Plm ZU P lm Zv lm. P ZV P lm ZV P lm ZU P lm I B نتیجه - نتیجه - اثبات: بر اساس نمادهاي اشاره شده و فروضی که بیان گردید و قبل از ورود به بحث تخمین الزم است موضوع شناسایی پارامترها بطور کلی و شرط الزم و کافی مورد بررسی قرار گیرد. تشخیص در معادله ام : توجه - اگر هیچگونه محدودیتی روي مدل ساختاري اعمال نگردد مدل قابل تشخیص نیست. تنها با اعمال محدودیت میتوانیم پارامترهاي بعضی یا همه معادالت را قابل تشخیص کنیم. j یعنی متغیر درونزاي C j b j معادله محدودیتهایی مانند : ام ظاهر نشوند. و براي سادگی معادله یکم را در نظر بگیریم: ام و متغیر برونزاي j ام در Z.. Z ماتریس مشاهدات بر روي متغیرهاي برونزا ظاهر شده در معادله یکم است. Z.,, Z.K.,,. G Z.,, Z,Z ماتریس مشاهدات بر روي متغیرهاي درونزا ظاهر شده در معادله یکم است. متغیرها یا پارامترهایی که با عالمت ستاره مشخص شده اند یعنی اینکه در سیستم معادالت وجود Z دارند ولی در معادله مورد نظر ظاهر نشده اند.

133 فصل سیزدهم: مدل معادالت هم زمان خطی 48 Z V C I B I B C e. b. C.,, Z, Z 3 K G KGG 3 KK G KK GG فرم خالصه شده عبارتست از : K. v., V, V KK فرم خالصه شده : معادله فرم خالصه شده مربوط به متغیرهاي درونزاي معادله یکم عبارتست از: Z Z V براي آنکه پارامترهاي فرم خالصه شده معادالت مربوط به معادله یکم را انتخاب کنیم بصورت زیر عمل میکنیم: e C. b. K G G G. K K دستگاه زیر بیانگر رابطه بین پارامترهاي فرم ساختاري و فرم خالصه شده معادله یکم است.: a براي آنکه بتوانیم از پارامترهاي فرم خالصه شده پارامترهاي فرم ساختاري را بدست آوریم در چیست دستگاه فوق ابتدا باید را بدست میآوریم. داراي مرتبه کامل باشد اما پس الزم است عبارتست از پارامترهایی که در فرم خالصه شده وجود دارد و مربوط میشوند به ضرایب متغیرهاي برونزایی که از معادله اول حذف شدهاند.

134 فصل سیزدهم: مدل معادالت هم زمان خطی 4 G 69 الف شرط رتبهاي : شرط الزم و کافی براي تشخیص معادله اول این است که مرتبه برابر با باشد. G اثبات: رابطه a بطور منحصر به فرد براي ستونی داشته باشد. اگر چنین شد داریم: Rank قابل حل است اگر و فقط اگر رنک کامل که داراي جواب منحصر به فرد است. : 7 ب شرط درجهاي شرط الزم براي تشخیص معادله اول عبارت از اینکه : K K G K K یا G یعنی حداقل به تعداد متغیرهاي برونزایی که از معادله اول کنار گذاشته شدهاند متغیر درونزا در آن ظاهر شده باشد یا تعداد متغیرهاي برونزاي درون سیستم بیشتر از متغیرهاي توضیحی معادله میباشند. اثبات: دستگاه داراي K معادله است. K K باشد. معادله دقیقا قابل تشخیص G لذا به تعداد مجهوالت معادله نیاز داریم. یعنی اگر K K باشد معادله فوق تشخیص خواهد بود. G است و اگر : مثال: فرم ساختاري زیر را درنظر بگیریم: G K x x... x G K G : G :... G : GG : K : K... K... G : : 34 KG به صورت فرم بسته ماتریسی داریم: Γ+B=Ε بطوریکه: ماتریس متغیرهاي درونزا.G و ماتریس متغیرهاي ازپش تعیین شده.K وΓ ماتریسG.G وB ماتریسK.G است. E ماتریس جمالت اخالل و.G میباشد. چنانچه مدلی را درنظر بگیریم که داراي 4 متغیر درونزا و 4 متغیر ازپیش تعیین شده باشد, بدون اعمال هیچگونه شرطی, سیستم بصورت زیر خواهد بود. 69. Rank Condon 7. Order Condon

135 فصل سیزدهم: مدل معادالت هم زمان خطی 45 x x x x x x x x x x x x x 4 x 43 x 3 44 x 4 4 چنانچه بخواهیم مدل فوق را بر حسب متغیرهاي درونزا بصورت صریح دربیاوریم, با قرار دادن γ منهاي یک آنرا نرمالیزه میکنیم لذا داریم: برابر x x x x x x x x x x x x x 4 x 43 x 3 44 x 4 4 فرم حل شده مدل فوق بصورت زیر خواهد بود: V به طوریکه: V E I B I ماتریس 4.4 است. بنابراین داریم: x x x x v x x x x v x x x x v x x x x v مالحظه میشود که در فرم خالصه شده باال همه متغیرهاي درونزا بر حسب کلیه متغییرهاي از پیش تعیین شده محاسبه شدهاند و ضرایب فرم خالصه شده ها بر حسب پارامترهاي فرم ساختاري هستند. فرم خالصه شده باال با استفاده از روش حداقل مربعات معمولی قابل تخمین است و تخمین زنندههاي سازگاري بدست میآید. اما قادر نخواهیم بود بادر دست داشتن تخمین پارامترهاي فرم خالصه شده فوق پارامترهاي فرم ساختاري موجود را شناسایی کنیم. لذا هیچیک از معادالت مدل فوق قابل شناسایی نیستند زیرا بدون اعمال قید در فرم ساختاري پارامترها قابل شناسایی نخواهند بود. x3, x4 حال اجازه دهید براي شناسایی معادله اول متغیر 4 پس قیدهاي زیر را اعمال میکنیم. ومتغیرهاي را از معادله اول حذف کنیم. γ4=, β3 = β4=

136 فصل سیزدهم: مدل معادالت هم زمان خطی در این صورت فرم خالصه شده را میتوانیم بصورت زیر بنویسیم: v V V x x x x V در رابطه اخیر: اند. نمادهاي ستارهدار نشانگر این معناست که این متغیرها دستهاي از متغیرها در معادله اول ظاهر نشده I از فرم خالصه شده, میدانیم که: وبراي معادله اول خواهیم داشت: ویا میتوانیم دستگاه زیر را از روابط باالبدست آوریم. در اینجا براي آنکه بتوانیم پارامترهاي فرم ساختاري γها را از دستگاه باال بر حسب پارامترهاي فرم خالصه شده ها بدست آوریم بصورت زیر عمل میکنیم:

137 فصل سیزدهم: مدل معادالت هم زمان خطی لذا از معادله سوم و چهارم ابتدا γ ها را بدست میآوریم و داریم: بنابراین براي بدست آوردن معکوس ماتریس. نیاز داریم که مرتبه ماتریس زیربرابر باشد: یعنی: Rank باشد. باید تعداد متغیرهاي درونزاي ظاهر شده در معادله اول ظاهر نشدهK-K = K در معادله اول برابر است. پس معادله یکم دقیقا قابل شناسایی است. G= میباشد. از طرفی تعداد متغیرهاي برونزاي شرط درجهاي: شرطی است الزم و نه کافی براي معادله ام و زمانی برقرار است که: K G K G یعنی تعداد متغیرهاي برونزاي کنار گذاشته شده از معادله ام حداقل برابر تعداد متغیرهاي درونزاي وارد شده در معادله ام باشد. این شرط صرفا شرطی شمردنی است و اگر برقرار نباشد نیازي به بررسی شرط رتبه اي نیست. K شرط رتبهاي: شرطی است الزم وکافی براي شناسایی معادله ام وزمانی برقرار است که: G یعنی تعداد متغیرهاي برونزاي کنار گذاشته شده از معادله ام برابر تعداد متغیرهاي درونزاي وارد شده در معادله ام باشد. مالحظه میفرمایید که تنها با خارج کردن یک متغیردرونزا و دو متغیر برونزا از معادله اول قادر به قابل شناسایی نمودن پارامترهاي این معادله گردیدیم. تخمین به روش OLS براي فرم خالصه شده و فرم ساختاري: الف- OLS براي فرم ساختاري:

138 فصل سیزدهم: مدل معادالت هم زمان خطی 43 Lemma..e Lemma UU P lm P lm j VV.P lm j ZU ZV P lm P lm U Lemma 3. P lm I B یادآوري: U P lm Z U P lm U U I B I B اثبات: چون جمله داخل کروشه برابر صفر است.,OLS قضیه: اگر تخمین OLS پارامترهاي معادله ام از فرم ساختاري را بنامیم., OLS., ZL P lm, OLS P lm P lm L, Z Z L Z P lm L Z Z Z L.. L Z. P lm P lm L Z P lm ZZ P lm Q.. P lm Z P lm L Z Z P lm آیا OLS سازگار است باید از آن Plm گرفته شود. داریم :

139 فصل سیزدهم: مدل معادالت هم زمان خطی 49 Z V P lm P lm Z V P lm ZZ VZ ' ZV VV ZZ V Z ZV P lm P lm P lm Q V V P lm 3 Z Plm P lm Z V Z ZZ VZ ' P lm P lm. P lm P lm. ' Q U P lm L Z P lm... I B I B ZU Z. Plm Plm. I B P lm L P lm,ols Q L Q' Q L Q I B L چون: چون: لذا: در نتیجه خواهیم داشت:. پس تخمینزننده هاي OLS مشکل وجود رابطه بین و بطورکلی براي فرم ساختاري معادالت همزمان ناسازگار ند و این به دلیل U. میباشد. Z v v VecV ; Vec I Zvec v G ب-کاربرد روش OLS بطوریکه: در فرم خالصه شده:

140 فصل سیزدهم: مدل معادالت هم زمان خطی 48 E..G Z Z..G v, Evv' I v. v.g است بطوریکه: و SUR GLS یعنی یا: توجه داریم که فرم خالصه شده شبیه مدل SUR تحت شرایط نرمال بودن جمالت اخالل تخمین چون داراي یک مجموعه از متغیرهاي مستقل هستیم لذا تبدیل به ML یکی خواهد بود. از طرفی V V, OLSخواهد شد. ZZ Z SUR و لذا تخمین OLS پارامترهاي فرم خالصه شده عبارتسند از: V Z ZZ P lm Plm Plm vec.d N, ZV Plm Q Q. مالحظه میشود که تخمینزنندهاي سازگار است: تخمینزنندههاي ML از و و اگر U نرمال باشد و هستند. -48 حداقل مربعات غیرمستقیم: جریان روش تخمین حداقل مربعات غیرمستقیم بدین ترتیب است که ما ابتدا پارامترهاي فرم حل شده را تخمین میزنیم سپس بر اساس آن تخمینزنندههاي ابتدایی پارامترهاي فرم ساختاري یعنی B و C تخمین خواهیم زد. را C همانطور که گفته شد ما رابطه زیر را بین پارامترهاي مدل حل شده و ساختاري داریم I B I B C B C B C

141 فصل سیزدهم: مدل معادالت هم زمان خطی 484 B C I, K b c., I K.. a., L. L Z.. G K, L براي معادله ام خواهیم داشت: نیاز داریم که مرتبه ماتریس برابر با حال بعنوان مثال معادله اول را در نظر بگیریم: باشد. 3,,, Z Z, Z., 3 آنگاه: L O I K KK k و L Rank I K G K لذا میتوانیم رابطه a که قبال هم دیدیم را بصورت زیر بنویسیم: Rank براي مسئله تشخیص ما نیاز داشتیم که k یا: باشد. باشد. در اینجا متوجه میشویم که نیاز ما براي تشخیص در رابطه a این است که: Rank, L G K K G باشد فوق تشخیص K K G باشد معادله ام دقیقا قابل تشخیص و اگر K اگر خواهد بود. تخمین OLS تعریف فرض کنید ام دقیقا قابل تشخیص باشد پارامترهاي فرم حل شده باشد. ILS را بصورت بردار جوابهاي منحصر بفرد زیر, L, OLS. در حالتی که معادله تعریف میکنیم. G را K K با ابعاد S ماتریس K G K در مواردي که معادله یکم فوق تشخیص است بعنوان یک ماتریس انتخابگر در نظر میگیریم بطوریکه با پیش ضرب کردن آن در ماتریسهاي فوق K سطر را حذف میکنیم. G K

142 فصل سیزدهم: مدل معادالت هم زمان خطی 48 S, L, ILS S. سپس تخمینزننده ILS متناظر با S را بصورت زیر تعریف میکنیم. S I G, O K سطر را حذف کنیم آنگاه: G K K G K K G K نکته فرض کنید میخواهیم, L توجه داریم که براي پارامترهاي فرم حل شده واقعی جواب این دستگاه: بدون توجه به سطوري که ما حذف میکنیم یکی خواهد شد. ولی وقتی را با تخمینزننده OLS داشت و آن جوابها بستگی دارند به اینکه کدام سطرها را حذف میکنیم. جایگزین میکنیم بطورکلی جوابهاي مختلفی خواهیم نکته بطورکلی در این حالت که معادله فوق تشخیص است ILS تخمینزننده کارآیی نخواهد بود. دلیل آن این است که ما بخشی از اطالعات را نادیده گرفتهایم., IV., Z قضیه : تخمینزننده IV ابزاري زیر را در نظر بگیریم: Z L ZZ Z یعنی متغیر ابزاري ما بر اساس تخمین OLS حاال فرض کنید معادله ام دقیقا قابل تشخیص باشد آنگاه فرم خالصه شده بدست آمده است.,IV یعنی وILS به لحاظ عددي ILS بصورت, IV S I برابرند. بعدا این IV را SLS اثبات: چون معادله خواهیم نامید. ام دقیقا قابل تشخیص است لذا خواهد بود و تخمینزننده L, ILS., L Z, ILS Z. زیر است:

143 فصل سیزدهم: مدل معادالت هم زمان خطی 488 L L ZZ ZZ ZZL ZZ Z Z. Z Z Z Z. ZZ Z, ZZZ ZZ ZZZ Z, Z, ILS Z Z, Z..... Z Z Z ZZ Z. : حال 7 لذا: یا: داریم: اثبات شد: 3-48 تخمین زننده با اطالعات محدود : 7 سه تعبیر براي : SLS الف - SLS بعنوان متغیر ابزاري: کلیه متغیرهاي درونزایی که در معادله ام ظاهر شدهاند را روي همه متغیرهاي از پیش تعیین شده رگرس میکنیم و این عبارتست از:, OLS, Z Z ZZ Z, OLS Z ZZ Z متغیر ابزاري:.. U. چون: ZZ ZZ Z, L ZZ ZZ Z, L Z Z Lmed Informaon Esmaor

144 48 :مهدزیس لصف یطخ نامز مه تلاداعم لدم SLS. -ب OLS زا هدافتسا :هلحرم ود رد -لوا مدق OLS اب ار هدش هصلاخ مرف.مینزیم نیمخت OLS Z Z Z, OLS Z Z Z Z Z, مود مدق - هلداعم ياه اب ار ما.مینکیم نیزگیاج Z... SLS., = : هک میهدیم ناشن :تابثا SLS Z Z Z Z Z..,..,SLS Z Z Z Z Z هک داد ناشن ناوتب رگا و Z Z :تسا تباث هیضق Z Z Z Z :میراد Z Z Z Z :تشاد میهاوخ اذل Z Z L Z Z Z Z Z L Z.تسا ربارب و هطبار سپ SLS -ج 73 هتفای میمعت تاعبرم لقادح ناونعب : Generalzed Leas Sqare

145 فصل سیزدهم: مدل معادالت هم زمان خطی 485 اگر در این مدل Z را بعنوان ماتریس تبدیل مدل بکار ببریم بطوریکه میدانیم: EZ Z ZZ.. j j ZZZ Z ZZZ Z., SLS,OLS آنگاه: چون در این تخمینزنندهها بکار برده شده یک تخمینزننده سازگار براي 74 قضایاي مربوط به حدي مرکزي را راجع به این تخمینزنندهها LIVE میتوانیم بکار بریم: بطوریکه: است, ILS, N.,SLS KV.,SLS و قضیه: تخمینزننده K-class یک تخمینزننده IV میباشد متغیر ابزاري خودش است. یک متغیر ابزاري براي KV Z Z Z اثبات: میدانیم KV KV Z V چون : همچنین KV V KV KV V KV Z V V چون : چون : آنگاه تخمین زننده IV براي و عبارتست از : KV Z Z Z KV. Z. k class Plmk قضیه: اگر کوواریانس SLS است. اگر باشد تخمینزنندههاي K-class سازگارند و بطور مجانبی داراي ماتریس واریانس P البته اگر معادله قابل تشخیص است. 75 lm K 74. Lmed Insrmenal Varables Esmaor. Peeer. Schmde اثبات صفحه 75 8

146 فصل سیزدهم: مدل معادالت هم زمان خطی 48. Z. تعریف: تخمین زننده و در معادله ام. ^ K V' V Z Z ZZ K V Z.. عبارتست از : بطوریکه: V IZZ Z قضیه 4 : تخمینزننده OLS یک تخمینزننده k-class است بطوریکه k برابر صفر است. V قضیه : تخمینزننده SLS یک تخمینزننده k-class است بطوریکه =k است. اثبات: در نتیجه : V V V همچنین: Z Z Z Z Z Z.. SLS چون بنابراین: Z ols تخمینزننده با اطالعات کامل : میدانیم که: 76. Fll Informaon Insrmenal Esmaor

147 48 :مهدزیس لصف یطخ نامز مه تلاداعم لدم Z Z Z OLS,SLS j j,sls. j,sls, j,sls SLS هدننزنیمخت قوف طباور ساسارب 3SLS.مینکیم فیرعت ریز تروصب ار فلا - I I SLS OLS OLS SLS OLS 3SLS G. G G G. G G GG G G G G ' ' j j j j j j Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z j j j j ZL Z ; Z Z Z Z Z j j j j j Z Z Z ZL Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z : هک دیآیم تسدب زا 3 j j j j j j j j j j Z Z Z Z Z Z Z Z يارب یمود ریغتم هک دهدیم هزاجا ام هب ریخا هطبار 3SLS.میروآ تسدب -ب OLS راب ود هک ياهدننز نیمخت 77 ینزو تاعبرم لقادح سپس و میربب راکب : : لوا مدق OLS اب هدش هصلاخ مرف زا ار و مینزیم نیمخت ار.میروآیم تسدب G, L ای Z Z Z Z OLS نیمخت : مود مدق هلداعم,G, Z.. هک SLS ینعی :داد دهاوخ ام هب,G, 77. Weghed Leas Sqare

148 فصل سیزدهم: مدل معادالت هم زمان خطی 483 j,sls,sls از این SLS استفاده میکنیم و را تخمین میزنیم:.,SLS.j j j,sls OLS SLS I OLS قدم سوم: حداقل مربعات وزنی را در مدل زیر بکار میبریم: ماتریس وزنی عبارتست از : اما : E I E I 3 SLS OLS SLS I OLS OLS SLS I آنگاه داریم: ب 3SLS G G GG G G G G G G. G G. Vec U Vec بطوریکه و میباشند و میتوان نشان داد که رابطه "الف" و "ب" با j j یکدیگر برابرند. چون :

149 فصل چهاردهم تحلیل مدل سریهاي زمانی مقدمه: اقتصاددانان مشاهده کردهاند و معتقدند که مدلهاي معادالت همزمان کالن که در سالهاي ساخته شده اند قدرت پیش بینی ضعیف تري ازمدلهاي ساده یک متغیره دارند مدلهایی که صرفا داراي چند پارامتر و بصورت یک متغیر سري زمانی است در روشهاي اقتصادسنجی با اسناد کردن متغیرها با یکدیگر آنها را مورد تجزیه و تحلیل قرار میدهند اسناد کردن متغیرها منبعث از نظریههاي اقتصادي است پس ازتخمین پارامتر مدلها متغیرهاي وابسته بر اساس پیش بینی و حرکت متغیرهاي مستقل قابل پیشبینی و Forecas میباشند اما هدف پیش بینی را میتوانیم با یک مدل ساده که رفتار متغیر را بر اساس رفتار آن در گذشته شرح میدهد برآورده نمائیم بهمین دلیل کارهاي 984 Box-Jenkns, برجستگی خاصی در پیش بینی روند متغیرها پیداکرد براي رسیدن به تجزیه وتحلیل ماهیت متغیرهاي اقتصادي الزم است تعاریف و ابزارهاي را در اینجا معرفی نمائیم -4 فراگرد تصادفی Sochasc Process تعریف: مجموعهاي ازمتغیرهاي تصادفی که دریک فضاي احتمالی تعریف میشوند را فراگرد تصادفی گویند : ; N فضاي احتمال P, A, بطوریکه: P مقدار احتمال A واریانس و فضاي نمونه است

150 فصل چهاردهم: تحلیل سریهاي زمانی 4 E var - فراگرد تصادفی ماناي ضعیفProcess Weakl Saonar Sochasc به یک جریان تصادفیZ ماناي : ضعیف گفته میشود اگر: s Cov, s میانگین آن وجود دارد و به بستگی ندارد کوواریانس آن وجود دارد وتابعی از-s است درنتیجه واریانس ثابت است وبه بستگی ندارد var E توجه: ازسه شرط فوق نمی توان نتیجه گرفت که گشتاورهاي سوم و چهارم هم ثابت هستند لذا اگر داراي میانگین باشد و ها با یکدیگر رابطه نداشته باشند و واریانس ماناي ضعیف استبه ویژه چنانچه اگر..d, با واریانس محدود باشد ثابت باشد درآنصورت ماناي ضعیف است,, k -8 فراگرد تصادفی ماناي قوي Srcl Saonar Sochasc Process به یک جریان تصادفی قویا مانا گویند اگر تابع چگالی مشترك cdf x, h,x h,x k h x : Z,,..., براي همه k باشد هم مانند تابع چگالی مشترك نکته: هر جریان ماناي ضعیف نمیتواند ماناي قوي باشد ولی اگر محدود حتما ماناي ضعیف خواهد بود براي مقادیر مختلف h x ماناي قوي باشد و داراي واریانس E var h h - تابع اتوکو واریانس FnconACF Ao Correlaon بطوریکه h h لذا اگر = h باشد داریم: -5 تابع خود همبستگی Ao correlaon Fncon h چنانچه داریم ACF نمائیم تابع تقسیم را بر h n ; h h h باشد = p خواهد بود لذا اگر = h

151 فصل چهاردهم: تحلیل سریهاي زمانی 44 -تابع خود همبستگی جزیی Paral Aocorrelaon Fncon -k تابع ACFk ازمرتبه k رابطه ناخالص بین و که همبستگی جزیی نام دارد عبارتست از همبستگی سادده بین و رانشان میدهد رابطه ناخالص بین این دو دوره منهاي آن بخش که با رابطه h corr -k... و خطی بین هاي گذشته توضیح داده نشده است یعنی: k k, k Whe Nose - اگر فراگرد تصادفی داراي میانگین صفر و واریانس گویند و معموال آنرا با یا نشان میدهند باشد و با یکدیگر وابستگی نداشته باشند آنرا Whe nose -3 مدلهاي اتورگرسیو Aoregressve Model رابطه زیر راچنانچه whe nose, باشد براي همه مقادیر یک مدل AR است مدل باال اتورگرسیو ازمرتبه اول است اگر باشد میتوان نشان داد که یک جریان تصادفی ماناي ضعیف است j E E j j k j h E j hk j k j k j k E j j h h k باجایگزاري داریم: بررسی کنیم آیا ویژگیهاي ماناي ضعیف را دارد باشد رابطه فوق بطوریکه: اگر - j= + h k لذا داریم: و اگر k باشد برابر صفر خواهد شد j,k j,k h jk j jk ;k h j j jh h j h h j j اتوکوواریانس ماناي ضعیف است دقت کنیم که تابع اتوکوواریانس نباید صفر شود برخالف تابع خود همبستگی ACF که ممکن است h h صفر شود یعنی میتواند صفر هم باشد

152 فصل چهاردهم: تحلیل سریهاي زمانی 4 h n h h میدانیم که لذا درنتیجه: تابعی نزولی ازh میباشد چون است h h است بنابراین درمدل اگر باشد فراگردي ماناست لذا شرط پایداري درمراحل بعدي شرط مانایی براي مدلهاي اتورگرسیو از مراتب باالتر راخواهیم گفت حال اجازه دهید به نوع دیگر ي از فراگردهاي تصادفی که به آنها میانگین متحرك میگویند بپردازیم E E E s -9 فراگرد تصادفی میانگین متحرك Movng Average Sochasc Process s اگر متغیر تصادفی مانند Whe nose باشد بطوريکه: باشد درآنصورت: فراگرد تصادفی مالحظه میشودکه: رافراگرد تصادفی MA میانگین متحرك ازمرتبه اول گویند E E E E وE h - h یا h اگر بطوریکه: پس کوواریانس به بستگی ندارد ولی به h بستگی دارد لذا یک جریان ماناست و نشان داده میشود ماناي ضعیف است درمراحل بعد به مراتب باالتر فراگرد میانگین متحرك میپردازیم -4 فراگرد تصادفی DSP Dfference Saonar Process چنانچه سري آنرا DSP مینامند. بصورت زیر باشد: یک سري مانا با میانگین صفر و واریانس میباشد

153 فصل چهاردهم: تحلیل سریهاي زمانی گام تصادفی Random walk حالت خاصی از سري DSP گام تصادفی است. فرض کنیم تفاضل اول بصورت باشد یعنی ماناست اصطالحا این سري را گام تصادفی بدون Drf گویند -4 فراگرد تصادفی rend Saonar process چنانچه سري داراي روند و بصورت زیر باشد: به آن SP گویند مالحظه میشود که هر دو سري فوق داراي rend 78 میباشند ولی روشی که روند آنها را حذف میکنیم متفاوت است اینکه سري DSP یا SP باشد داراي کاربردهاي اقتصادي است قبل از بحث در این مورد بهتر است به سریهاي نامانا و ریشههاي واحد بپردازیم -48 فراگرد نامانا و ریشههاي واحد Non- Saonar Process and Un Roos فراگرد نامانا و ریشههاي واحد: بطور کلی اگر یک فراگرد تصادفی داراي ریشه واحد باشد یعنی فراگرد اتورگرسیوي است که مقدار جاري یک متغیر از مقدار گذشته آن تبعیت میکند اهمیت ریشههاي واحد اهمیت داشتن ریشه واحد براي یک فراگرد تصادفی آنست که اگر شوکی به آن وارد شود اثر دائمی دارد یعنی اگر متغیر اقتصادي نامانا باشد داراي ریشه واحد است و شوکهایی که به آن وارد میشود دائمی خواهند بود و اگر شوکی دائمی باشد نمیتواند ناشی از طرف تقاضا باشد مثال اقتصاددانان معتقدند اگر دولت عرضه پول را 5 درصد افزایش دهد قادر نخواهد بود بیکاري را براي همیشه کاهش دهد در نتیجه پول در بلندمدت مهم نیست ممکن است دولت قادر باشد در کوتاهمدت نوسانات در برخی فعالیتهاي اقتصادي را کاهش دهد اما در این مدت میزان محصول تغییري نخواهد کرد اما 98 Plosser Nelson- نشان دادند چون فراگرد تصادفی GNP نامانا است لذا تغییرات در GNP یا شوكهایی که برروي GNP اثر میگذارند شوکهاي ناشی از عرضه است فرض کنیم در زمان معینی مثال شوکی باندازه m افزایش عرضه پول برروي آن حادش شود آنگاه اگر مدل سري GNP بصورت باشد باندازه m افزایش پیدا میکنند لذا اثر شوك و افزایش و و عرضه پول در اینجا دائمی است و نظریه "پول در بلندمدت مهم نیست" مورد سئوال واقع میشود 87- غالب متغیرهاي اقتصادي عمال سریهاي نامانا هستند بدین معنی که میانگین و واریانس آنها به زمان بستگی دارد و هر چه زمان پیش میرود این متغیرها تمایل دارند که از یک مقدار معینی دور شوند چنانچه این حرکت در یک جهت باال و پایین باشد این سري را سري زمانی داراي rend گویند لذا براي کارکردن با سریهاي زمانی نامانا قبل از هر چیز آنها را de-rend میکنند

154 فصل چهاردهم: تحلیل سریهاي زمانی 4 اما اگر سري بصورت مدل: بین خواهد رفت چون در باشد بطوریکه شوك m وارد میشود و در دورههاي بعدي باشد شوك m m میرنده است ولذا شوك موقتی خواهد بود میگوئیم پول در بلندمدت خنثی است لذا چون شوكهاي پولی احتماال اثرات دائمی روي GNP ندارد اگرGNP و m در طول زمان از خواهد بود که حقیقی نامانا و یاDSP باشد نوسانات درGNP توسط شوكهاي حقیقی باید توضیح داده شود نه توسط شوكهاي اسمی و پولی پس موضوع اندازه تخمین اهمیت خاصی پیدا میکند و این سئوال مطرح میشود که آیا = است ویا کوچکتر از یک 48-- مسئله آزمون فرضیه فرضیه و یا فرضیه مقابل در دو دهه اخیر در اقتصاد کالن اهمیت ویژهاي پیدا کرده است که بیش از ها مقاله در این زمینه تهیه شده است و همچنان مورد اختالف مکاتب نئوکالسیک نئوکینزین Real Bsness و پول گراها میباشد براي بررسی این فرضیه دو مشکل آماري وجود دارد: اول- چگونه روند را حذف کنیم یعنی با تفاضلگیري یا با انجام رگرسیون و قراردادن بعنوان متغیر توضیح دهنده ols دوم - در مدلهاي AR چنانچه باشد داراي توزیع استاندارد و F معمولی نخواهد بود و این توزیع باید مورد به مورد محاسبه شود و بستگی دارد به اینکه سایر متغیرهایی که در مدل وجود دارند کدام هستند آیا جمله ثابت روند متغیرهاي تاخیري تا چند مرتبه وجود دارند لذا نیاز داریم جدول خاصی براي آزمون ریشه واحد تهیه کنیم -4 آزمون ریشه واحد: Un Roo es مدلهاي موضوعی که سالهاي 7 همه انرژي اقتصاددانان را بخود جذب کرد این موضوع بود که آیا در برابر یک است یا کوچکتر از یک میدانیم که اگر باشد گام تصادفی است و یک حالت خاص از سري نامانا ا ست همانطور که گفته شد تخمین به روش OLS داراي توزیع مجانبی نرمال بصورت زیر است P lm P lm N, P lm P lm P lm.p lm.p lm اگر سري گام تصادفی باشد تخمین OLS براي داراي تورش به سمت صفر است حتی اگر کوچکتر از یک یا نزدیک به یک باشد باز هم تخمین آن به سمت صفر داراي تورش است

155 فصل چهاردهم: تحلیل سریهاي زمانی ,98 Sad Evans با استفاده از روش Mone-Carlo شواهدي نشان دادند که داراي تورش ا ست آزمون ols H : با استفاده از جدول معمولی و F همواره به نفع فرضیه مقابل رد خواهد شد Dcke- Fller 976 روش آزمونی براي این مسئله ارائه کردند براي آشنا شدن با این روش مدل: ازتبدیل را درنظر بگیریم بطوریکه بصورت زیر است Kock داراي میانگین صفر و مانا است فرم خالصه شده مدل فوق با استفاده مدل فوق داراي ریشه واحد است اگر = باشد درآنصورت = است آزمون DF براساس آزمون = در رابطه میباشد تحت این فرض که Whe nose, باشد سه نوع تابع نمونه یا آماره براي این آزمون وجود دارد k SE F, تخمین ols است و SE انحراف معیار میباشد, F, F معمولی است براي آزمون مشترك این آمارهها داراي توزیع استاندارد نرمال و نیستند مقادیر بحرانی k و براي = در مقاله آمده است Dcke-Flle 98 در مقاله F, جدول بندي شدند و مقادیر بحرانی Fller 978 اما در مدل فوق اوال Whe nose, فرض شده است و ثانیا ممکن است متغیر با تاخیر از مراتب باال نیز در سمت راست مدل وجود داشته باشند بدین منظور Phlps- Perron988, Phlps987, Dcke- Fller984 آزمونDF را براي مدلهایی که ضرورتا وایت نویز نباشد توسعه دادند و آزمون D.F Agmened را ارائه دادند که مدلهاي زیر را آزمون میکند k j j j e هدف از اضافه نمودن جمله آن است که جریانهاي ARMA را مورد بررسی قرار دهیم اما اگر پارامترهاي MA بزر باشد تعریف نمودن AR مدل ضعیفی را ارائه میدهد مگر آنکه k باندازه کافی بزر j باشد علیرغم اشکاالتی که به قدرت آزمون ریشه واحد وارد است آزمونهاي DF و ADF مقبولیت زیادي در بین اقتصاددانان یافته است قبل از آنکه به معرفی مدلهاي ARMA بپردازیم اجازه دهید قدرت آزمون ریشه واحد را بررسی کنیم

156 فصل چهاردهم: تحلیل سریهاي زمانی قدرت آزمون ریشه واحد در قالب سریهاي زمانی متغیرهاي اقتصادي اقتصاددانان نتوانستهاند فرضیه = را رد کنند و لذا نتیجه گرفته اند که تقریبا همه مغیرهاي اقتصادي DS میباشند یعنی در سطح نامانا و با اولین تفاضلگیري مانا میشوند اما برخی همین نتایج را مربوط نمودهاند به ضعف آزمون ریشه واحد براي آزمون فرضیه مقابل یعنی S بودن متغیرها چون درست است که نمیتوانند کنند مسئله دیگري که توسط Cho H : را رد کنند ولی.95= را هم نمیتوانند رد به آن اشاره شده این است که اگر جمالت اخالل داراي اجزاي MA باشند یک AR با مراتب باال مانند آنچه در مدل میبینیم باعث میشود که تخمینهاي یک تورش داشته باشد ونشانگر وجود ریشه واحد است حتی اگر ols باشد به سمت Nelson Plosser 98 با مدل شروع نمودند و آنها فرض کردند H o :,..d, را تحت شرایط زیر آزمون کردند با میانگین صفر و واریانس بصورت: باشد و e e و این زمانی بود که مشاهده کردند دادههاي آماري ایاالت متحده داراي جمله اخالل با تفاضل اول است و سپس بجاي مدل مدل را بهمنظور جمله اخالل MA بکاربردن مدل باعث شد که Cho با استفاده از روش داراي تورش به سمت باال باشد Mone Carlo فرض کرد که در مدل : مورد استفاده قرار دادهاند 5.5 و.3 دریافتند که در مدل داراي تورش به سمت یک است -4 مدلهاي ARMA داد P مدل اتورگرسیو مرتبه دوم و مرتبه باالتر : ARP و AR 4-4- موضوع فراگرد تصادفی AR را میتوان به سادگی به فراگرد AR و یا بیشتر ARP تعمیم فراگرد تصادفی AR را بصورت زیر در نظر بگیریم فشرده زیر نوشت: خصوصیات مطلوب کالسیک را داراست با استفاده از عملگر وقفه L رابطه فوق را میتوان به صورت L L AL L L

157 فصل چهاردهم: تحلیل سریهاي زمانی 4 AL از آنجا که AL یک معادله درجه برحسب L است داراي دو ریشه خواهد بود یعنی دو جواب براي براي بحث مانایی در این حالت و بررسی AL rl rl Z Z r r r r Z Z Z AL rl rl AL= وجود خواهد داشت که عبارت است از Z و پیامدهاي آن بهتر است که AL را بصورت زیر بنویسیم: در این صورت جوابهاي AL= عبارت خواهد بود از: لذا با توجه به روابط باال میتوانیم رابطه AR را بصورت زیر بنویسیم: r 4 اگر قدر مطلق هر دو مقدارr و تصاعد هندسی میتوان نوشت: کمتر از یک باشد وقتی باندازه کافی بزر است با استفاده از r L rl r L r L 3 3 r L rl rl r L r L... r L rl r L r L... rl r L r L با جایگذاري روابط فوق در رابطه 4 خواهیم داشت که در آن داریم:, r r, r r r,... مالحظه میشود که رابطه اخیر فراگرد میانگین متحرك است و هر فراگرد میانگین متحرك ماناست r r و که بنابراین شرط پایایی براي فراگرد AR آن است که قدر مطلق است پس باید قدر مطلق ریشههاي و و کوچکتر از واحد باشند از آنجا Z معادله AL=o بزرگتر از واحد Z r Z r Z باشند 4-- مرتبه هم جمعی Inegraon Order ناماناست فرض کنید به این دلیل که یکی از ریشههاي معادله AL= برابر یک است فراگرد AR AL Z, Z بدین ترتیب که =, به صورت قدر مطلق از یک بزرگتر است است داریم r L L r Z r L در چنین حالتی چون r و یا < Z > AL r

158 فصل چهاردهم: تحلیل سریهاي زمانی 43 r چون < میتوان نتیجه گرفت که فراگرد بنابراین است پس فراگرد فوق ماناست r جمعی از مرتبه یک یا I است و یک فراگرد مانا یا I است حال اگر هر دو ریشه معادله = AL برابر یک باشد آنگاه = = r به صورت زیر خواهد آمد AL = رابطه فوق میگوید تفاضل مرتبه دوم از مرتبه یا I میباشد یک فراگرد r خواهد بود در نتیجه رابطه AL L L L I فراگرد و ماناست پس متغیر لذا مرتبهاي که یک فراگرد نامانا را با تفاضلگیري مانا کنیم مرتبهInegraon و بصورت Id نشان داده میشود به سادگی میتوان فراگرد ARp را بسط داد یعنی اجازه دهیم باشد این موضوع به فراگرد خودهمبسته مرتبه Pام زیر میانجامد p p در سطح فراگرد جمعی یا هم جمعی گویند به وقفههاي خود تا وقفهPام وابسته فراگرد میانگین متحرك مرتبه q ام MAq وقتی که به صورت تابعی از وقفههاي جمالت اخالل همبسته باشد است وچنانچه تعداد این وقفهها q باشد آنرا MAq گویند هستند که در آن q q یک فراگرد میانگین متحرك... ها ناهمبسته با میانگین صفر و واریانس -4- مدلهايProcess Aoregressve Movng Average چنانچه دو فراگرد تصادفی AR و MA ARMA عنوان مثال به را میدهد ARMA هستند تمامی فرایندهاي میانگین متحرك مانا با ویژگیهاي مختلف را باهم تلفیق نمائیم تشکیل یک فراگرد به صورت زیر نوشته میشود q q فراگرد تصادفی ARMA از انعطاف پذیرترین نوع الگوهاي سریهاي زمانی تک متغیره است و یک سري q ARMA,P بصورت زیر است p p مشروط بر اینکه پارامترهاي q شرایط خاصی را تامین کنند میتوان فراگرد تصادفی 5 را به یک فراگرد تصادفی اتورگرسیو تبدیل کرد

159 فصل چهاردهم: تحلیل سریهاي زمانی فراگرد تصادفیARIMA چنانچه یک سري زمانی را dبار تفاضلگیري کنیم یعنی هم جمع از مرتبه d باشد و آنگاه آن را در قالب مدل q ARMA p, بیآوریم میگوئیم که سري زمانی اولیه یک فراگرد اتورگرسیو میانگین متحرك از مرتبه d میباشد که با مرتبه اتورگرسیو P و میانگین متحرك q آنرا بصورت q ARIMA p, d, نمایش میدهند -4- فراگرد تصادفی اتورگرسیو برداري VAR Vecor Ao regressve Process مطالب ارائه شده در مورد فراگردهاي اتورگرسیو و میانگین متحرك و همچنین مدلهاي ادغامی این دو را میتوان به سریهاي زمانی چند متغیره نیز بسط داد چنانچه برداري از متغیرهاي سري زمانی باشد که بتوان آنرا توسط وقفههاي آن بصورت یک فراگرد چند متغیره یا برداري ARMA مدلسازي کرد در آنصورت میتوان نوشت: که در آن p p q q q,,,, p,,, 8 به جمالت اخالل است یک مدل VAR را معموال بصورت زیر مینویسند: معموال برآورد چنین الگوهایی نسبتا مشکل است رگرسیون هم جمعی 3 ماتریسهاي مربع شامل پارامترها و بردار مربوط... p he Co-Inegraon Regresson براي گرفتن ایده کلی مثال سادهاي که 987 Engale-Granger ارائه کردند را اریه میکنیم: فرض کنیم x, x دو سري باشند که بصورت زیر ارائه شده باشند ودو جمله وایت نویز, e ممکن است با یکدیگر رابطه داشته باشند را در نظر بگیریم: e x, e را که x x x, e بطوریکه داراي مرتبه همجمعی یک I و I میباشند. مدل فوق سازگار خواهد بود اگر است مقادیري براي به مفهوم عام باشد این قید براي این است که اگر x x و و پیدا کرد که بطور همزمان در دو تساوي فوق صدق نمایند به دلیل عدم وجود متغیر برونزا در مدل غیرقابل شناسایی هستند فرم خالصه شده مدل فوق بصورت زیر است باشد غیرممکن x x دو متغیر فوق ترکیب خطی از I میباشند و در نتیجه هر دو و

160 فصل چهاردهم: تحلیل سریهاي زمانی 45 توجه کنیم که معادله نشانگر ترکیب خطی دو متغیري است که هر دو I و نامانا هستند لذا بدست میدهد که آنرا x و با یکدیگرهمجمع Co-Inegrae میباشند x x در این شرایط رگرسیون برروي به روش حداقل مربعات تخمینی از تمایل دارد که به مقدار واقعی میل کند Co-negraon-Regresson x x x x ols باشند Spper-Consen میگویند یعنی اینکه سریعتر از در موارد معمولی اگر تخمین حداقل مربعات از وقتی درصورتیکه در اینجا رگرسیون وقتی مینامند Co-negraon-Regresson x برروي را در اینجا x x و x تمامی ترکیبات خطی توجه داریم که اگر باشد غیر از مدل داراي واریانس نامحدودي هستند,, / نیز I است و در نتیجه نخواهیم داشت اما میتوانیم معادالت و را بصورت مدلهاي AR بنویسیم x x,, e 4 بطوریکه: ترکیبات خطی میباشد معادالت و 4 نشاندهنده یک مدل VAR براي این x x z z z z x و x روابط ساده است اگر چنانچه تعریف کنیم میتوانیم داشته باشیم: معادالت 5 و نشانگر Error Correcon Model ECM مدل فوق هستند اال اینکه در این x 5 x با مدل درگیر نیست و بالعکس آن نیز صحیح است و اگر مدل فوق را با OLS تخمین بزنیم چون خواهند بود لذا تخمین سازگاري از در معادله 5 میتوانیم بدست آوریم یک مدل ECM بصورت نامرتبط هستند برآورد پارامترها سازگار x رابطهاي بین تغییرات و و تغییرات z z x x x z x e x e z x x عدم تعادل در گذشته است ECM فوق بصورت زیر استخراج شده است e لذا با استفاده از معادله داریم: یا: هستند این معادله را اگر با ols تخمین بزنیم پارامترها سازگار نخواهند بود چون ازطرفی متغیرها در این مدل همگی I هستند یادآوري : اگر و و با هم مرتبط هم جمع باشند درآن صورت رابطه بلند مدتی بین آنها برقرار است بعالوه رابطه کوتاه مدت و پویایی از طریق مدل ECM میتوان براي آنها بیان نمود x

161 فصل چهاردهم: تحلیل سریهاي زمانی 454 اگر z x I I x I این موضوع به Granger Represenaon heorem شناخته شده است درآنصورت, x با یکدیگرهمجمع میشوند قضیه GR میگوید که در این مورد x بطوریکه چون و میتوانند بصورت ECM از فرم زیر در نظر گرفته شوند x P z lagged x, P z lagged x, و P P غیر صفر میباشند و جمالت خطاي وایت نویز میباشند یادآوري : چگونه معادله و را شناسایی کنیم یعنی و چگونه شناسایی میشوند جواب این است که ما با استفاده از اطالعاتی که درباره جمالت اضافی داریم این کار را انجام میدهیم گام تصادفی و است I, هر چند با در نظر گرفتن ترکیب خطی دو معادله میتوانیم معادلهاي بوجود آوریم که شبیه به یکدیگر هستند ولی هیچ ترکیب خطی نمیتواند جمله خطاي I شبیه آنچه در معادله دوم وجود دارد تولید کند لذا قابل شناسایی است بدین ترتیب هیچ ترکیب خطی نمیتواند جمله خطاي I یعنی Random walk شبیه آنچه در معادله اول میباشد بوجود آورد لذا نیز قابل شناسایی است معادله با OLS قابل تشخیص است و سازگار خواهد داد و بدلیل ماهیت x که I است و که I است مشکل تورش همزمانی نخواهیم داشت آنگاه z x x را تشکیل میدهیم و تخمین را از معادله بدست میآوریم Engale-Granger پیشنهاد میکنند که براي تخمین ابتدا Co-negraon Regresson را تخمین بزنیم سپس مدل کوتاه مدت پویا را از طریق تغییرات یک مدل ECM توسط یک روش دو مرحلهاي که در مرحله اول از برآوردهاي CO-R بکار ببریم استفاده کنیم دیگران پیشنهاد میکنند که پارامترهاي بلند مدت و پویاي کوتاه مدت را بطور همزمان تخمین بزنیم مثال 986 Banrjee و دیگران با استفاده از مطالعات M.C معادالتی شبیه به و را بررسی نمودند و به این نتیجه رسیدند که در نمونههاي کوچک تخمین از معادله داراي تورش است و پیشنهاد نمودند که بهتر است پارامتر هاي بلند مدت را از طریق یک مدل پویا تخمین بزنیم شکل 4 مثال 4

162 فصل چهاردهم: تحلیل سریهاي زمانی 45 در این شکل ترسیم متغیر نرخ بیکاري براي ایاالت متحده از سال فصل اول تا فصل چهارم سال 4 نشان داده شده است. مالحظه میشود که این متغیر در طول زمان تمایلی به حرکت پیرامون میانگینش ندارد. پس متغیربیکاري در سطح نامانا است. شکل در این شکل ترسیم متغیر تفاضل اول نرخ بیکاري براي ایاالت متحده از سال فصل اول تا فصل چهارم سال 4 نشان داده شده است. مالحظه میشود که این متغیر در طول زمان داراي حرکتی پیرامون میانگینش دارد یعنی متغیر نرخ بیکاري بیکاري با اولین تفاضل گیري مانا میشود.

163 فصل چهاردهم: تحلیل سریهاي زمانی 458